
Численное дифференцирование
Скачать реферат: Численное дифференцирование |
|||
|
Пусть имеется функция
которую необходимо продифференцировать
несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.
Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена
Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.
Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать
Пусть функция задана в двух точках
и
ее значения
Посстроим интерполяционный многочлен первой степени
Производная
равна
Производную функцию
в точке
приближенно заменяем производной
интерполяционного многочлена
(1)
Величина
называется первой разностной
производной.
Пусть
задана в трех точках
Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
Берем производную
В точке
она равна
Получаем приближенную формулу
(2)
Величина
называется центральной разностной
производной.
Наконец, если взять вторую производную
получаем приближенную формулу.
(3)
Величина
называется второй разностной
производной.
Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.
Предполагая функцию
достаточное число раз непрерывно
дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть
произвольные точки,
Тогда существует такая
точка
что
Доказательство. Очевидно неравенство
По теореме Больцано-Коши о промежуточных
значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения
между
и
Значит существует
такая точка
что
выполняет указанное в лемме равенство.
Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.
Лемма 2.
1.Предположим, что
Тогда существует такая точка
, что
(4)
Если
то существует такая точка
, что
(5)
Когда
то существует
такая, что
(6) Доказательство.
По формуле Тейлора
откуда следует (4).
Если
то по формуле Тейлора
(7)
где
Подставим (7) в
Получаем
Заменяя в соответствии с леммою 1
получаем
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.
Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый
порядок относительно (или порядка
), а погрешность формул (2) и (3)
имеет второй порядок относительно
(или порядка
). Также говорят, что
формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно
), а формулы
(2) и (3) имеют второй порядок точности.
Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.
Выбор оптимального шага. Допустим, что граница
абсолютной погрешности при вычислении функции
в каждой точке удовлетворяет
неравенству
(8)
Пусть в некоторой окрестности точки
производные, через которые
выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют
неравенствам
(9)
где
- некоторые числа. Тогда полная
погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии
с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин
Минимизация по
этих величин приводит к следующим
значениям
:
(12)
при этом
(13)
Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3)
значении
отрезок
не выходит за
пределы окрестности точки
, в которой выполняется соответствующее
неравенство (9), то найденное
есть оптимальным и полная погрешность
численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).