Функции

Часть 1

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве  :
.
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в .
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию  можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
 
Рассмотрим  - финитная, бесконечно дифференцируема в .

Значит, .

Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве .
Определение 2.
Пусть  и считается продолженной нулем вне Q . Скажем:
f - непрерывна в среднеквадратичном, если :
.

Теорема 3.

Любая функция из  непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть .  Пусть

Оценим:

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
 
Теорема доказана.
Определение 3.

 - бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

 - осреднение функции f.

Теорема 4.

Любая функция из  сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в .
Доказательство.

От Q к , от  к

При .

Возьмем любые две функции:

Определение.
- множество функций, принадлежащих  на любом компакте внутри области.

Определение 1.
Пусть
 - обобщённая производная функции f, если  выполняется:
             (1)

Производные

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное:  - обобщённые производные функции f.
                                (2)
                               (3)
(2),(3) - тождество для
 - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.
Ex 1.

По определению:

Пусть  и

Ex 2.

Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть , то:

где

1) пусть  носитель в , то :

2) пусть  :  , значит:

Вывод: .

Вывод: , не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть  имеет обобщённую производную , то:
1.              (4)

если .
2. Если к тому же
                (6)
                      (7)
Доказательство.

Выберем h так, чтобы


Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.
Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

Утверждение.
Пусть , то

Пусть  - открытый компакт, то  для

Теорема 5.

Пусть .  имеет обобщённые производные  и , то
существует обобщённая производная .

Пространство Соболева. 

Определение.
, такая, что  

называется пространством Соболева порядка k.

Обозначения: ,  или .
Введём .
Утверждение.
 - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

 - полное пространство.
Доказательство.
 - фундаментальная в  
.
 - мультииндекс
 - может быть равен 0.

 в .
 в .
Интегральное тождество для :

Из сильной сходимости следует слабая:


Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.
1. для .
2.Если , то .
3.Если , то .
4.Если , то

если , то .
5. - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее  в .
 и пусть .
Пусть .
Пусть , то .
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6.Обозначим  - куб со стороной 2a с центром в начале координат.
Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в .
.

Доказательство.
Раздвинем область, возьмём  и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.
        (определена в растянутом кубе)

Оценим:

Выберем  и рассмотрим

Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть  - ограниченная область, пусть  - покрытие замыкания Q,  - может равняться бесконечности.
 - открытые, тогда: существует конечный набор  - финитные, бесконечно дифференцируемые в , неотрицательные функции, такие, что:

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на , расширяем D на  путём домножения на .
Доказательство.
Возьмём . Для  - y покрывается множеством .
Для каждой выбранной y построим:

 покрывается .

Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:
.
Обозначим: .  Обозначим: .
Определим: :

Получили: .
Если , то , , и .
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
 выполняется свойство 3.
 - выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.


Продолжение функции из  в .
Лемма 1.
  - продолжение функции f:
 и
1.Определить функцию.
2.Проверить условие сливания: совпадение значений функции и её производных по  до k-го порядка.
Доказательство.
Определим    (2)
Коэффициенты  из условия:

                              (3)

Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.

Выполняется одно уравнение из (3), и:
.
Значит: .
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в .
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к  - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.
Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве  в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.

                                                                                                         (4)

Теорема о продолжении функции.
Пусть - ограниченная область, граница . Пусть  (- область), тогда:
 - продолжение f, такая, что:
1)
2)
3)                                                                                                         (5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на  и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы:  нарисуем шар .
Пусть в O(z) граница задаётся уравнением .
Введём новые переменные:
 - невырожденное преобразование координат.
Преобразование:  - внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество:
Вырезали куб .

Результат преобразования
Прообраз куба  - криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.
(Tju)(y) = u(x(y))        (xVj)   -  переход от x к y,
переход от y к x : 

Введём :        если 

 на носителях  обратятся в 1.

Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т.к.  - финитная, то F(x) - финитная на
Доказать: F(x)=f(x),если .

Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств  (следует из доказательства).
Теорема 2.
Пусть  - ограниченная область
 , - всюду плотно в .
Доказательство.
Рассмотрим  произвольную функцию .
 - ограниченная.
F-продолжение f. Так как F - финитная в , то

Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть  - ограниченная область, , тогда :
 -  сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим  ; продолжение функции f : .
Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений)  всюду плотно в пространстве финитных функций .
Очевидно : .
Где коэффициенты : .
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции  образуют ортонормированную систему, если  , и  .
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система  ,что .
Разложение по этому базису единственно, и : .
Равенство Парсеваля.
.
Пространство  - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :

Определим вид коэффициентов Фурье:

проинтегрируем по частям и получим :
 , где
Получаем :   и следовательно :

F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.
Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из Hk(Q).
Для функции из понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.
Если  удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :
определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим  -ограниченную область, .
 - (n-1) - мерная поверхность, .
Пусть

Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координатные плоскости и описывающиеся уравнением :

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженное по непрерывности.

Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :

Оценим :

Обе части умножим на   и проинтегрируем по D :

f- финитная.
Так как  может быть продолжена в  финитным образом,
,    причём 


Существует последовательность

Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в
- полное, следовательно - сходится,   
Перейдём к пределу, получим :

Утверждение.
Определение  не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности .
Доказательство.
Пусть есть две последовательности    в .
Пусть .
Следовательно, должны совпадать два предела в .
Рассмотрим

Значит : ,  и .
Если функция непрерывна в  и принадлежит , то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.
Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная, .
,  - единичный вектор внешней нормали к .
Теорема Реллиха-Гординга.
Если , то , если  сходится в , то  сходится в .
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.
Пусть - ограничена, , тогда :  - компактно вложено в .
Множества, ограниченные в , являются предкомпактными в .

Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.
Из любой ограниченной последовательности функций из  можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся  в .
Или :  Для  можно выбрать  , сходящуюся в .
Доказательство.
1. Продолжим функции  финитным образом в более широкую область , .
.
Оператор продолжения ограничен, и : .
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций  с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции  - бесконечно дифференцируемы в   .
- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье : .
.
В силу финитности :
Оценим по неравенству Коши-Буняковского:
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
 - слабо сходящаяся в  .
 - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции .
В качестве  возьмём функции :
 - сходится
Докажем, что  - фундаментальна в



Так как последовательность  сходится для любых и ограничена, то для интеграла  применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
, где - радиус шара.

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :

Выбором R, интеграл  можносделать сколь угодно малым, т.е. :.
Если  и k,m - выбрать , то :  , и последовательность
 - фундаментальна.