4. Дискретные преобразования Фурье
|
|
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до
на N=8 частей, так чтобы приращение:
В нашем случае
, и значения функции в k-ых точках будет:
для нашего случая
(т.к. a=0).
Составим табличную функцию:
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора
называется
. Поэтому найдем :
, n=0,1,...,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная,
, где
, где
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
2,4 |
2 |
1 |
0 |
0.4 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0.318 |
0.25 |
0.106 |
0 |
0.021 |
0 |
0.009 |
0 |
Табл. 2
Амплитудный спектр
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули
и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0.708 |
1 |
0.707 |
8e-4 |
5e-5 |
5e-4 |
3e-4 |
Табл. 3
Из приведенной таблицы видно, что
приближенно равно
.
Построим графики используя табл.3, где
- это F(k), а
- это f(k) рис. 6 :
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.
