Функция

1.Функция и её свойства

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

2. Способы задания функции

• Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-iaeioi?ia aы?a?aiea с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
• На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

3. Виды функций и их свойства

• Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат                                                                                                                                     
• Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к?0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

• Область определения функции- множество всех действительных чисел
• y=kx - нечетная функция
• При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Свойства функции y=kx+b:

• Область определения- множество всех действительных чисел
• Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
• При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k?0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:

• Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
• y=k/x- нечетная функция
• Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+?) и на промежутке (-?;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-?;0) и на промежутке (0;+?).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2
    Свойства функции y=x2:

• Область определения- вся числовая прямая
• y=x2 - четная функция
• На промежутке [0;+?) функция возрастает
• На промежутке (-?;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:

• Область определения- вся числовая прямая
• y=x3 -нечетная функция
• Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2:

• Функция определена при всех x?0
• y=x-2 - четная функция
• Функция убывает на (0;+?) и возрастает на (-?;0).

    Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Oх
    Свойства функции y=Oх:

• Область определения - луч [0;+?).
• Функция y=Oх - общего вида
• Функция возрастает на луче [0;+?).

10)Функция y=3Oх
Свойства функции y=3Oх:

• Область определения- вся числовая прямая
• Функция y=3Oх нечетна.
• Функция возрастает на всей числовой прямой.

 
11)Функция y=nOх
    При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Oх. При нечетном n функция y=nOх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Oх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:

• Область определения- луч [0;+?).
• Функция общего вида
• Функция возрастает на [0;+?).

На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+?).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:

• Обл. определения -промежуток (0;+?)
• Функция общего вида
• Функция убывает на (0;+?)

14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.