
Теория вероятности
Скачать реферат: Теория вероятности |
|||
|
Математический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть
— произвольное вероятностное
пространство.
Случайной величиной
называется измеримая функция
, отображающая
в множество
действительных чисел
, т.е. функция, для которой
прообраз
любого
борелевского множества
есть множество из
-алгебры
.
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала
координат до случайно брошенной в квадрат точки
.
Множество значений случайной величины
будем обозначать
, а образ
элементарного события
—
. Множество значений
может быть конечным,
счетным или несчетным.
Определим
-алгебру на множестве
. В общем случае
-алгебра
числового множества
может быть образована применением
конечного числа операций объединения и пересечения интервалов
или полуинтервалов вида
(
), в которых одно из
чисел
или
может быть равно
или
.
В частном случае, когда
— дискретное (не более чем счетное)
множество,
-алгебру
образуют любые подмножества множества
, в том числе и одноточечные.
Таким образом
-алгебру множества
можно построить из
множеств
или
, или
.
Будем называть событием
любое подмножество значений
случайной величины
:
. Прообраз этого
события обозначим
. Ясно, что
;
;
. Все множества
, которые могут
быть получены как подмножества
из множества
,
, применением конечного
числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив
множество возможных значений случайной величины
—
и выделив систему событий
, построим
измеримое пространство
. Определим вероятность на подмножествах
(событиях)
из
таким
образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его
прообразом:
.
Тогда тройка
назовем вероятностным пространством
случайной величины
, где
— множество значений случайной величины
;
—
-алгебра числового
множества
;
— функция
вероятности случайной величины
.
Если каждому событию
поставлено в соответствие
, то говорят,
что задано распределение случайной величины
. Функция
задается на таких событиях
(базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного
события
.
Тогда событиями могут быть события
.
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство
, образованное случайной
величиной
.
Определение. Функцией распределения случайной величины
называется
функция
действительного
переменного
,
определяющая вероятность того, что случайная величина
примет в результате реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа
:
(1)
Там где понятно, о какой случайной величине
,
или
идет речь, вместо
будем писать
. Если
рассматривать случайную величину
как случайную точку на оси
, то функция
распределения
с геометрической точки зрения это
вероятность того, что случайная точка
в результате реализации
эксперимента попадет левее точки
.
Очевидно что функция
при любом
удовлетворяет неравенству
. Функция
распределения случайной величины
имеет следующие свойства:
2) Функция распределения — неубывающая функция
, т.е. для любых
и
, таких что
, имеет место
неравенство
.
Доказательство. Пусть
и
и
. Событие, состоящее в том, что
примет значение,
меньшее, чем
,
представим
в виде объединения двух несовместных событий
и
:
.
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова,
или по формуле (1)
, (2)
откуда
, так как
. Свойство доказано.
Теорема. Для любых
и
вероятность неравенства
вычисляется по
формуле
(3)
Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из
соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины
в полуинтервал
равна разности
значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала
и
.
2)
;
.
Доказательство. Пусть
и
— две монотонные числовые
последовательности, причем
,
при
. Событие
состоит в том, что
. Достоверное событие
эквивалентно
объединению событий
:
;
.
Так как
, то по свойству вероятностей
, т.е.
.
Принимая во внимание определение предела, получаем
;
3) Функция
непрерывна слева в любой точке
,
Доказательство. Пусть
— любая возрастающая
последовательность чисел, сходящаяся к
. Тогда можно записать:
На основании аксиомы 3
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится
к
, то остаток
ряда, начиная с некоторого номера
, будет меньше
,
(теорема об остатке ряда)
.
Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим
,
откуда
или
, а это означает, что
.
Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция
распределения
является 1) неубывающей, 2)
непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию
и
. И, обратно, каждая функция,
обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция
распределения некоторой случайной величины.
Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины
больше действительного числа
, вычисляется по формуле
.
Доказательство. Достоверное событие
представим в виде
объединения двух несовместных событий
и
. Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова
или
, откуда
следует искомая формула.
Определение. Будем говорить, что функция распределения
имеет при
скачок
, если
, где
и
пределы слева и справа
функции распределения
в точке
.
Теорема. Для каждого
из пространства
случайной величины
имеет место
формула
Доказательство. Приняв в формуле (3)
,
и перейдя к пределу при
,
, согласно
свойству 3), получим искомый результат.
Можно показать, что функция
может иметь не более чем счетное число
скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка
, скачков
— не более 3-х,
скачков
не
более чем
.
Иногда поведение случайной величины
характеризуется не заданием ее
функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы
можно было получить из этого закона распределения функцию распределения
.