
Высшая математика
Скачать реферат: Высшая математика |
|||
|
Содержание
Часть I. 3
Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II. 9
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
|
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. |
|
машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
|
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ: |
Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может
иметь
|
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P)
и найдите координаты точки равновесия, если
,
.
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0): |
С осью OQ (P=0): |
|
Для Q=QS(P): |
Для Q=QD(P): |
|
|
|
|
Т.к.
функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения
которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они
найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда
, значит координаты т.M
.
Ответ: Координаты точки равновесия равны
,
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ: Производная заданной функции равна
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ: Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
Область определения данной функции:
.
Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью OY
|
С осью OX
|
|
|
Точка пересечения:
|
Точки пересечения:
|
Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек
разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение:
, где:
т.к. правая и левая наклонные
асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:
, т.е.
- уравнение горизонтальной асимптоты.
Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке
первая производная функции равна нулю, т.е.
:
, дробь равна
нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
, отсюда
, следовательно
, значит точка
- точка
экстремума функции.
На участке производная
> 0, значит, при
, заданная
функция возрастает.
На участке производная
< 0, значит, при
, заданная
функция убывает (рис 2.).
Следовательно
- точка максимума заданной функции
.
Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке
вторая производная функции равна нулю, т.е.
:
, дробь равна нулю, если ее
числитель равен нулю, т.е.
, значит
, тогда
, отсюда
Отсюда
,
.
На
участке
производная
>0,
значит это участок вогнутости графика функции.
На участке
производная
>0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является
вогнутым.
На участке производная
<0, значит, при
график
заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки
,
- точки перегиба графика заданной
функции
.
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график
(см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и
. Задана функция полных
издержек
.
Цены этих товаров на рынке равны
и
. Определить, при каких объемах
выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
,
,
Решение:
Пусть
- функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции
:
,
. Найдем стационарные точки графика
функции
.
Для этого решим систему:
Следовательно
- стационарная точка. Проверим ее
на экстремум, для этого
введем обозначения:
,
,
,
тогда
,
,
,
. Т.к.
> 0, то экстремум есть, а
т.к.
< 0,
то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска
и
, достигается максимальная прибыль
равная:
Ответ:
и достигается при объемах
выпуска
и
.
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его
расходимость)
.
Решение:
Ответ: Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
.
Проинтегрируем полученное уравнение
. Представим
, как
, тогда
Ответ: Решением данного уравнения является
.
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения:
, тогда
, следовательно
,
, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются
решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений
и
, возьмем
,
, тогда общее
решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как
и сравним с выражением, задающим
правую часть специального вида:
. Имеем
,
, тогда т.к.
- многочлен второй
степени, то общий вид правой части:
. Найдем частные решения:
,
,
Сравним коэффициенты при
слева и справа, найдем
, решив систему:
, отсюда
.
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного
уравнения имеет вид:
.
Ответ:
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел:
.
Решение:
.
Ответ: Заданный предел равен
.
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
Решение:
Область определения данной функции:
.
Т.к. точка
не входят в область значений
функции, то это точка разрыва, а т.к.
и
, следовательно, уравнение
– уравнение
вертикальной асимптоты.
Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:
, где:
т.к.
правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид:
.
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты
с осями
координат:
С осью OX: точка,
с осью OY: точка
Ответ:
и
– уравнения асимптот заданной
функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите:
.
Решение:
Т.к. по определению производная функции
в точке
вычисляется по формуле
, тогда
приращение
в
точке
:
.
Следовательно
.
Ответ:
.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
.
Решение:
.
Ответ: Заданный предел равен
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке
уравнение касательной плоскости к
поверхности, заданной уравнением:
.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции
в точке
имеет вид:
. Поэтому,
продифференцируем заданное уравнение поверхности:
. Подставив в полученное уравнение
координаты точки
вместо значений переменных, и
заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
.
Ответ: Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в
заданной точке
имеет вид
.
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в области:
.
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка
не принадлежит заданной области
дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,
наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями
и
. Найдем
наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого
составим функцию Лагранжа:
, тогда
,
, следовательно, система уравнений
для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
|
Точка
|
|
Точка
|
|
Точка
|
|
Точка
|
, тогда
,
,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
|
Точка
|
|
Точка
|
|
Точка
|
|
В точке
|
Следовательно, заданная функция
в заданной области
дифференцирования достигает наибольшего значения в точках
и
и наименьшего в точках
и
при этом
графики функций
и
касаются окружности
в точках
,
и
,
соответственно (см.
рис.6).
Ответ: Заданная функция
при условии
имеет
и
.
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл:
.
Решение:
Ответ: Заданный неопределенный интеграл равен
.
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение:
.
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Ответ: Решением данного уравнения является
.