
Три знаменитые классические задачи древности
Скачать реферат: Три знаменитые классические задачи древности |
|||
|
Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: о квадратуре круга о трисекции угла
о удвоении S круга.
Задача о квадратуре круга
Одной из древнейших и самых популярных математических задач,
занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре
круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому
данному кругу. Если обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о
построении квадрата, площадь которого равна
r2, а сторона равна r
. Теперь известно,
что число
-отношение окружности к своему диаметру
– число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной
дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками
математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он
обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким
огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение
микроскопических расстояний к телескопическим.
Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с
требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение
построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти
бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством
противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная
о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины
окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение
(и корня
квадратного из
), удовлетворяющее тем или иным
практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала
людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона:
возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только
циркуля и линейки.
Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернётся,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут –
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!..
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.
Квадратурой круга
занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У
многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще
построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность
была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных
под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром
вписан
равнобедренный прямоугольный треугольник BAC
. На
и
, как на диаметрах, Рис.
1 описываются полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.
По теореме Пифагора:
.
(1)
Отношение
площадей кругов или полукругов BMAEC и
AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов
соответствующих диаметров
, которые в силу (1) равно 2. Итак,
площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на диаметре
. Если из
обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что
площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих
луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и
другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде
дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.
Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий
попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в.
было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки
невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять,
кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э.
греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной
кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых
Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами
применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто
геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в
исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с
числом
,
и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить.
Задача о трисекции угла
Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом Платоном.
Так, деление
прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь
на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о. Пусть
требуется разделить на три равные части прямой угол MAN (Рис. 2). Откладываем
на полупрямой
произвольный отрезок
, на котором строим
равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2 CAB
равен 60о, то
= 30о. Построим биссектрису
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN
на три равных угла:
,
,
.
Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при
некоторых других частных значениях угла (например, для углов в
, п – натуральное
число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три
равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в
первой половине ХIХ в.
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.
Рис. 4 Рис. 5
Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в
своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду
(рис.4)
окружности радиуса r на отрезок
= r и провести через С диаметр
, то дуга BF
будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о внешнем угле
треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника
имеем:
,
,
значит,
Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления
на три равные части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом
и
, проводим
диаметр
.
Линейку CB на которой нанесена длина
радиуса r (например, помощью двух
штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению
диаметра
, а сома линейка всё время проходила бы
через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда
угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме
используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью
так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В
указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как
инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину
определённого отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой –
либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P и
Q (см. ту же фигуру, внизу)
Построение
На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA =
PQ. Делим ВА пополам в точке М; проводим линии
Рис.
6 и
.
Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.
Доказательство
как накрест лежащие. Разделим PQ
пополам и середину N соединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы
прямоугольного треугольника PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник
PNM равнобедренный, и значит
Внешний же
Вместе с тем
.
Значит,
Итак:
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению
x3 = 2a3, или x =
Задача является естественным обобщением аналогичной задачей
об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь
которого равна 2а2, служит отрезок длиной а, т.е. диагональ данного квадрата со
стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок х,
равный
,
не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано
лишь в первой половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:
а : х = х : у = у : b (1)
Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося
к IV в. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на
стороне прямого угла отрезок
=а, где а- длина ребра куба (рис.7), а
на другой его стороне – отрезок
=2а. На продолжениях сторон прямого
угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и (ВN) были перпендикулярны
к (MN); тогда
(х) и
(у) будут двумя серединами
пропорциональными между отрезками
и
. Для этого устраивается угольник с
подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.
Имеем:
:
=
:
=
:
,
или
а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда
или
,
т.е.
.
Это значит что отрезок
искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.