Теорема Штольца
Скачать реферат: Теорема Штольца |
|||
|
|
Формулировка и доказательство теоремы Штольца
Применение теоремы Штольца: нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты ;
Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей
Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца
Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда = ,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный)
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
Тогда по любому заданному найдется такой номер N , что для n > N будет или
Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y n вместе с номером n , положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N
Второе слагаемое справа при n > N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет < , скажем, для n > N ’ . Если при этом взять N ’ > N , то для n > N ’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение
Примеры:
Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n ) , следовательно, вместе с y n и x n , причем варианта x n возрастает с возрастанием номера n . В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению (ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать
При а > 1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта a n имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а n )
Действительно, полагая в теореме Штольца
X n = a 1 + a 2 +…+ a n , y n =n,
Рассмотрим теперь варианту (считая k -натуральным) которая представляет неопределённость вида
Полагая в теореме Штольца
x n =1 k +2 k +…+n k , y n =n k+1 ,
будем иметь
Но
( n -1) k +1 = n k +1 -( k +1) n k +… ,
так что
n k +1 -( n -1) k +1 =( k +1) n k +…
Определим предел варианты представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
Полагая x n равным числителю этой дроби, а y n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций
Теорема.
Пусть функция , причем, начиная с некоторой x k , g ( x k +1)> g ( x k ), т.е. функция возрастающая
Тогда ,
если только существует предел справа конечный или бесконечный
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
Тогда, по определению предела или
Значит, какой бы ни взять, все дроби
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g ( x n ) вместе с x ( n ), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
Напишем тождество(которое легко проверить):
Откуда
Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему
Литература :
- “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г
- Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва
