Несобственный интеграл с несколькими особенностями
Скачать реферат: Несобственный интеграл с несколькими особенностями |
|||
|
|
Дадим определение сначала несобственному интегралу
Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] О [ a , w )
Тогда, если существует:
То его величина обозначается
Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f на промежутке [ a , w )
Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят,что данный интеграл расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится
Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [ a , b ) ( b может быть бесконечным), то несобственный интеграл равен площади неограниченного открытого множества G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}
Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]
Если функция определена на интервале ( a , b ) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с ( a , b ) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c О ( a , b )
При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с . Тогда
Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями
Если функция f :< a , b > R имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и Т: a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение < a , b >, что на каждом из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :
Аналогично, интеграл расходится, значит
Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения
На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями
Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл расходится при b
На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от 0 д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел
На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x =1 является особой точкой
Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие интегралы:
Сначала рассмотрим
F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )] не имеет предела при b 1 значит исходный интегралы расходятся
Но следует заметить, что прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию, найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2] выглядит примерно так
Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
1)Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f непрерывна на [ a , b ), и F - первообразная f .Тогда
Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )
2)Линейность несобственного интеграла
Если несобственные интегралы
Сходятся,то для любых чисел m , n сходятся несобственный интеграл
3)Интегрирование по частям
Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то
Причем,если любые два из выражений
имеют смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):
Причем
4)Замена переменной в несобственном интеграле
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда
При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:
Пример 6:
Монотонность несобственного интеграла
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x О <a,b>,то
В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:
Пример7:
f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1]
т.е. сходится, а для fg =1/ x
Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]
Несобственные интегралы от знакопостоянных функций
В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)
и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо применять следующие методы:
Признак сравнения
Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:
Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости
Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости
Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида
Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения
Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)
Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:
Пример 8:
Пример 9:
Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел
Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]:
Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо отыскать функцию сравнения в виде:
Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a]
Пример 10
Видно, что интеграл расходится. На интервале [3;5) функция сравнения принимает следующий вид
Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен
При x 0
Ln(1+x)~x
Sinx~x
Tgx~x
Arcsinx,arctgx~x
Нельзя забывать, что при x
Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )
При x 0 Arccosx,arcctgx p /2
Теперь вспомним пример 8.1
Решим с помощью правила Лопиталя:
Пример 11
Полученный интеграл расходится
Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов
Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):[ a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям:
а) при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на [ a ; b )
Справедливо:
Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале [a;b):
a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0
Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций
Если интеграл сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся,
И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится
Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл от |f(x)| расходится, а от f(x) –сходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает с обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле
