Математическая логика и теория алгоритмов

	Скачать реферат: Математическая логика и теория алгоритмов

Содержание реферата

1. Постановка задачи.
2. Построение модели.
3. Описание алгоритма
4. Доказательство правильности алгоритма
5. Блок-схема алгоритма
6. Описание переменных и программа
7. Расчёт вычислительной сложности
Тестирование
Список литературы

1. Постановка задачи

Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга

2. Построение модели

Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее

Дерево позиций для n = 2

Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении

Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции

3. Описание алгоритма

Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций

Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:

вверх_ налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)

вправо (перейти в соседнюю справа вершину)

вниз (спуститься вниз на один уровень)

вверх_налево

вправо

вниз

и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному"

Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей

Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом"

Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):

{ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}

{ОЛ} вверх_налево {ОЛ}

{есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}

{не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}

Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья)

Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:

Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:

Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью"

4. Доказательство правильности алгоритма

Докажем , что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве)

Доказательство . Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие

5. Блок-схема алгоритма

Описание переменных и программа

Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга)

6. Расчёт вычислительной сложности

Емкостная сложность:

В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно 3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4

С(n)=n+4

Временная сложность:

Если рассматривать обработку каждого листа, без проверки на пути к нему, то временная сложность T(n) = n 0 +n 1 +n 2 +n 3 +…+n n

Но в случае, когда каждая вершина проверяется, временная сложность T(n) = o(n 0 +n 1 +n 2 +n 3 +…+n n ). И это тем вернее, чем больше n. Данный вывод получен на основе приведённых ниже статистических данных:

	1	2	3	4	5	6	7
Общее кол-во листьев	2	7	40	341	3906	55987	960800
Кол-во вершин построенного дерева.	2	3	4	17	54	153	552
Время построения(сек)	<0.01	<0.01	<0.01	<0.01	<0.01	<0.01	<0.01

	8	9	10	11	12	13
Общее кол-во листьев
Кол-во вершин построенного дерева.	2057	8394	35539	166926	856189	4674890
Время построения(сек)	<0.01	0.21	1.20	6.48	37.12	231.29

 7. Тестирование

Построенная по описанному алгоритму программа при различных n выдаёт следующие данные:

n=4

<1,2><2,4><3,1><4,3>

<1,3><2,1><3,4><4,2>

Т.е. количество расстановок равно 2. Ниже приведена таблица зависимости от n количества решений (R)

n =	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
R=	1	0	0	2	10	4	40	92	352	724	2680	14200	73712

Cписок литературы

1. Кузнецов О.П. Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.
2. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. – М.:Наука, 1984.
3. Основной алгоритм находился на BBS “Master of Univercity” в файле shen.rar в файловой области “Bardak” (тел. 43-27-03; время работы 21.00 – 7.00; FTN адрес – 2:5090/58).