
Гамма функции
Скачать реферат: Гамма функции |
|||
|
1. Бэта-функции
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
=
(1.1)
сходятся при
.Полагая
=1 – t получим:
= -
=
т.e. аргумент
и
входят в
симетрично. Принимая во внимание
тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
=
(1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
(1.3)
при целых
= m,
= n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1)
.Так как график функции
симметрична
относительно прямой
,то
и в результате подстановки
,получаем
полагая в(1.1)
,откуда
,получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до
и применение ко
второму интегралу подстановки
,получим
=
2. Гамма-функция
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) =
(2.1)
сходящийся при
0.Положим
=ty,t > 0 ,имеем
G(a) =
и после замены
, через
и t через 1+t ,получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
откуда
(2.2)
заменяя в (2,1)
,на
и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
но при целом
имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции
Интеграл
сходится при каждом
,поскольку
,и интеграл
при
сходится.
В области
, где
- произвольное положительное число,
этот интеграл сходится равномерно, так как
и можна применить признак Веерштраса.
Сходящимся при всех значениях
является и весь интеграл
так как и второе
слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом
.Легко видеть что
интеграл сходится по
в любой области
где
произвольно.Действительно для всех
указаных значений
и для всех
,и так как
сходится, то выполнены условия признака
Веерштрасса. Таким образом , в области
интеграл
cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем
дифференцируемость этой функции при
.Заметим что функция
непрерывна при
и
, и покажем ,что интеграл :
сходится равномерно на каждом сегменте
,
. Выберем число
так , чтобы
; тогда
при
.Поэтому существует число
такое , что
и
на
.Но тогда на
справедливо неравенство
и так как интеграл
сходится, то интеграл
сходится равномерно
относительно
на
. Аналогично
для
существует
такое число
,
что для всех
выполняется
неравенство
.
При таких
и
всех
получим
, откуда в силу
признака сравнения следует , что интеграл
сходится равномерно относительно
на
. Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно
относительно
на
. Таким образом
, на
интеграл
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция
бесконечно дифференцируема при любом
и справедливо равенство
.
Относительно интеграла
можна повторить теже рассуждения и
заключить, что
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно
дифференцируема прии для ее я
-ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение
- функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной
-функции видно, что
для всех
. Следовательно,
возрастает.
Поскольку
, то
по теореме Роля на сегменте [1,2]производная
при
и
при
, т. е. Монотонно убывает на
и монотонно
возрастает на
.
Далее , поскольку
, то
при
. При
из формулы
следует , что
при
.
Равенство
, справедливое при
, можно использовать при
распространении
-
функции на отрицательное значение
.
Положим для, что
. Правая часть этого равенства
определена для
из
(-1,0). Получаем, что так продолженная функция
принимает на (-1,0) отрицательные
значения и при
,
а также при
функция
.
Определив таким образом
на
, мы можем по той же формуле
продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением
окажется функция,
принимающая положительные значения и такая, что
при
и
. Продолжая этот процесс, определим
функцию
,
имеющею разрывы в целочисленных точках
(см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях
, продолжение на
отрицательные значения
осуществлено нами формально с помощью
формулы приведения
.
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что
,имеем
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
=
где
дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(3.2)
Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от
до
при изменении
от
до
и обращаются в 0 при u =
0.Так как
то
при u > 0 и при u < 0 , далее
имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем
интервале
,удовлетворяет
условию
Из предыдущего следует, что существует обратная функция,
определенная на
интервале
непрерывная
и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая
,имеем
Положим далее
введенная выше обратная функция,
удовлетворяющая условиям u = -1при
,и
при
.Замечая что(см.3.2)
имеем
,
полагая на конец ,,получим
или
в пределе при
т.е. при
(см3.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
(3.4)
где
,при
для достаточно больших
полагают
(3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если
целое положительное число, то
и (3.5)
превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших
значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.
5. Примеры вычисления интегралов
Для вычисления необходимы формулы:
Г()
Вычислить интегралы
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966
4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
5. Специальные функции: Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965