Математический анализ

Окрестностью точки Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

Проколотой окрестностью точки Хо называется окрестность точки Хо, из которой выброшена сама точка.

Окрестностью "+" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (а; +).

Окрестностью "-" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (-; b).

Окрестностью бесконечности называется объединение двух любых окрестностей + и -.

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности точки Хо, если для любого числа > 0 существует проколотая окрестность точки Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего проколотой окрестности точки Хо выполняется неравенство іf (х) і< > 0 U U => іf(x) і<.

Число А называется пределом функции f(х) в точке Хо, если в некоторой проколотой окрестности этой точки функцию f(х) можно представить в виде f(х) = А + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Limf (x) = А Функция f(х) называется непрерывной в точке Хо, если в некоторой окрестности точки Хо эту функцию можно представить в виде: f (х) = f (х) + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Иными словами, f (х) — непрерывна в точке Хо, если она в этой точке имеет предел, и он равен значению функции.

Теорема

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения.

Схема:

1. функция элементарна
2. определена
3. непрерывна
4. предел равен значению функции
5. значение функции равно 0.
6. можно представить в виде бесконечно малого.

Свойства бесконечно малых

Теорема 1

Единственная константа является бесконечно малым.

Теорема 2

Если (х) и (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо, то их сумма тоже бесконечно малое в этой окрестности.

Функция f (х) называется ограниченной в окрестности точки Хо, если существует проколотая окрестность точки Хо и число М > 0 такие, что іf (х) і < М в каждой точке проколотой окрестности точки Хо.

U M > 0: іf (x) і

Теорема 3

Если (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо, то она ограничена в этой окрестности.

Теорема 4

Если функция (х) бесконечно малое, а f (х) — ограниченная в окрестности точки Хо, то (х) * f (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Теорема 5

Если (х) и (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо и (х) < (х) < (х) — 2 в окрестности точки Хо U, то (х) —бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Две бесконечно малые называются сравнимыми, если существует предел их отношения.

Бесконечно малые (х) и (х) в окрестности точки Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0.

Две бесконечно малые в окрестности точки Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.