Принципы создания календарей

Эта статья носит скорее прикладной, чем сущностный характер и, на первый взгляд, выпадает из общей структуры курса. Однако, как показывает практика, сущностные вещи часто понимаются недостаточно отчетливо без ясного осознания техники процесса, а отношение цивилизации к феномену времени - одна из важнейших характеристик менталитета. Вопрос о принципах создания календарей интересен также сам по себе: он показывает, насколько тесно абстрактная математическая идея срастается иногда с плотью  истории, влияя на формирование бытового пространства цивилизации.

Сама идея календаря является проявлением циклической модели восприятия времени и любой календарь опирается на три главных природных цикла: смену дня и ночи, обусловленную вращением Земли вокруг своей оси, смену времен года, задаваемую движением Солнца по эклиптике и смену фаз Луны, обусловленную вращением Луны вокруг Земли. С первым процессом связано понятие суток, со вторым - года, с третьим - месяца и недели.

Остановимся на последнем цикле чуть подробнее. Как известно, поверхность Луны холодна и лунный свет - это, в действительности, отраженный солнечный свет. При вращении Луны вокруг Земли освещение видимой нам части ее поверхности изменяется, что  приводит к периодическому изменению фаз Луны. Первая фаза, называемая новолунием, соответствует моменту, когда Луна при своем движении оказывается между Солнцем и Землей. При этом ее обращенная к Земле сторона не освещается и планету вообще не видно. Вскоре Луна вновь появляется на небе: сначала в форме узкого серпа, а приблизительно через семь суток - полукруга. Эта фаза называется первой четвертью. Приблизительно еще через восемь дней Луна занимает положение прямо противоположное Солнцу и ее обращенная в Земле сторона полностью освещается им. Наступает полнолуние, в это время Луна восходит при заходе Солнца и видна на небе всю ночь. И еще через семь суток наступает последняя четверть, когда видимая часть Луны снова становиться полукругом, но обращенным выпуклостью в другую сторону.

Минимальный промежуток времени между двумя одинаковыми фазами называется синодическим месяцем. Он равен 29.5305 суток, а двенадцать месяцев составляют 354.3670
суток. Величина же тропического года (промежуток времени между двумя последовательными прохождениями диска Солнца через точку весеннего равноденствия) равна 365.24421 суток. Как видно, синодический месяц несоизмерим ни с сутками, ни с тропическим годом: он не состоит из целого числа суток и не укладывается без остатка в тропическом году. В этом и заключается основная проблема, возникающая при создании календаря.

Обратимся к основным методам ее разрешения.

Существует три типа календарей: лунный календарь, лунно-солнечный календарь и солнечный календарь.

Лунный календарь опирается только на синодический месяц и не связан с тропическим годом. Календарный год состоит в этом случае из двенадцати месяцев и продолжительность его равна, как мы уже отмечали 354.3670 суток. Календарный месяц, очевидно, может состоять из 29 или 30 суток. Необходимо придумать такую схему чередования месяцев, чтобы она давала за год число дней, максимально приближенное к календарному году. Можно, например, принять, что календарный год состоит из 354 суток: из шести "полных" месяцев по 30 суток и шести "пустых" по 29 суток (6*30+6*29 =354). А чтобы начало календарного месяца как можно точнее совпадало с новолунием, эти месяцы должны чередоваться; например, все нечетные месяцы могут содержать по 30 дней, а четные - по 29 дней. Однако промежуток времени в 12 синодических месяцев на 0.3670 суток больше календарного лунного года в 354 суток. За три года ошибка составит уже 1.1001 суток. Следовательно, в четвертом от начала счета году новолуния будут уже приходится не на первые, а на вторые числа месяцев. А это значит, что календарь время от времени следует исправлять: приблизительно через три года делать вставку в один день, т.е. вместо 354 дней считать в году 355 дней. Год в 354 дня принято называть простым, год в 355 дней - високосным.

В более общем виде проблема построения лунного календаря сводится к следующему: необходимо найти такой порядок следования простых и високосных годов лунных циклов, при котором начала календарных месяцев не отодвигались бы от новолуния. Для ее решения необходимо подобрать целое число лунных лет, за которое набегает какое-то целое или почти целое число вставных дней. Это найденное число вставных дней и распределяется между отдельными годами внутри цикла. Конечно, т.к. величина лунного года равна 354.3670, можно было бы вставлять 367 дней на протяжении 1000 лунных лет. Однако это слишком большой промежуток времени, с которым трудно работать. Хотелось бы заменить эту дробь дробью, близкой по значению, но с меньшим числителем и знаменателем. Для решения задачи используется метод разложения рационального числа в цепную дробь.

Можно доказать, что произвольное число можно представить в виде: причем цепочка имеет конечное количество элементов. Тогда последовательные приближения данного числа и будут теми дробями, которые мы ищем. В данном случае цепная дробь имеет вид а последовательные приближения равны: К(i) = 1/2; 1/3; 3/8; 4/11; 7/19; 11/30...

Как мы увидим далее, при построении лунных календарей были использованы два последовательных приближения: К=3/8 и К=11/30. В первом случае ("турецкий цикл") на протяжении восьми лет делается вставка из трех дней. Во втором ("арабский цикл") на промежутке в 30 лет 11 лет делаются високосными. Второй цикл дает ошибку в один день за 2500 лет.

В теории лунно-солнечного календаря используются две величины: один тропический год = 365.2422 суток и один синодический месяц = 29.5305 суток. Легко проверяется, что один тропический год = 12,3682 синодических месяца. Итак, в солнечном году содержится 12 полных лунных месяцев и еще примерно одна треть. Следовательно, год в лунно-солнечном календаре может состоять из 12 и 13 лунных месяцев. При этом необходимо, чтобы начало каждого календарного месяца располагалось как можно ближе к новолунию, а средняя на протяжении цикла продолжительность календарного года была близка к продолжительности тропического года. Вставку 13-го месяца лучше производить так, чтобы начало календарного года располагалось как можно ближе к какому-то моменту астрономического солнечного года, например, к равноденствию.

Знаменатель дроби указывает на продолжительность цикла в годах, а числитель - на количество вставных месяцев в цикле.

Созданные в древности календари соответствуют третьему (К=3/8) и пятому (К=7/19) приближениям. Опишем первый из этих циклов, использовавшийся в Древнем Вавилоне и независимо от вавилонян открытый древними греками. В этом цикле сопоставляются две величины: 8 тропических лет = 2921.9376 суток и 99 синодических месяцев = 2923.5284 суток. Таким образом, восьмилетний календарный цикл состоит из 99 месяцев: 53 полных и 46 пустых, т.к. 53*30+46*29=2924 (суток). Ошибка периода в отношении Луны равна приблизительно половине суток, т.е. после двух таких циклов конкретная фаза Луны появляется на один день раньше, чем в начале цикла, следовательно, календарные циклы должны содержать попеременно 2924 и 2923 суток. Но по отношению к Солнцу погрешность составляет 1.53 суток за восемь лет или примерно трое суток за 16 лет. И если в начале цикла новолуние произошло в момент равноденствия, то через 16 лет оно произойдет лишь трое суток спустя. Внутренняя структура цикла, т.е. распределение дней по месяцам, такова: 2924 = ((8*354)+2)+(3*30) или 2924=8(6*30+6*29)+(3*30)

В основе солнечного календаря лежит продолжительность тропического года - 365.2422 суток. Отсюда сразу видно, что календарный год может состоять либо из 365 либо из 366 суток. Теория должна указать порядок чередования простых и високосных годов в каком-то определенном цикле с тем, чтобы средняя продолжительность календарного года за цикл была по возможности ближе к продолжительности тропического года.

Итак, наиболее простым является хорошо знакомый всем четырех летний цикл, когда на протяжении четырех лет производится одна вставка. Такой цикл используется в юлианском (введенном Юлием Цезарем в 45 г. до н.э.) календаре. В среднем, продолжительность такого календарного года на 0.0078 суток больше продолжительности тропического года, и эта разность за 128 лет составляет примерно сутки. Несколько более точным является григорианский календарь, принятый странами Западной Европы в 1582 г. Продолжительность календарного года здесь принята равной 365.2425 суток. Т.к. 0,2425 =97/400, в промежуток времени в 400 лет дополнительный 366-й день вставляется 97 раз, т.е. по сравнению с юлианским календарем здесь трое суток в 400 лет выбрасывается.

Для удобства это делается в те вековые годы календаря, число сотен которых не делится без остатка на 4. Так, 1500, 1700, 1800,1900 годы считаются не високосными.