4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей

а) Оценка энергии основного состояния атома водорода.

Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле
Е = p² / 2m - e² / r,

где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению ?px?x  > h, эти величины связаны друг с другом. Положим pr    h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r из формулы. Получим
                         E(p) = p² / 2m - e²p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1; обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты). Приравнивая к нулю производную                        , находим р1 = me² / h. Отсюда немедленно получаем искомые оценки:
                         r1 = h² / me², E1 = -me⁴ / 2h².

Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин. Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто: достаточно заменить в классическом выражении точными значениями динамических переменных величинами, характеризующими степень «размытия» этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.

б) Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора.

Будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного гармонического осциллятора описывается выражением
E = p_x² / 2m + m?²x² / 2.
Рассматривая px и х как неопределенности импульса и координаты осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством p_xх = h, получаем
Е(p_x) = p_x² / 2m + m?²h² / 2p_x² .
Приравнивая      к     нулю    производную                         ,    находим    величину            
р₀ =   m?h, при которой функция Е(p_x) принимает минимальное значение. Легко убедится, что это значение равно
Е = Е(p₀) = h?.

Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в квантовой механике энергия осциллятора не может обратиться в нуль; ее минимальное значение оказывается порядка h?. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний.
Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов кристалла не обращается в не обращается в нуль даже при температуре абсолютного нуля.
Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство: нельзя реализовать микрообъект на «дне потенциальной ямы», или, иначе говоря, «микрообъект не может упасть на дно потенциальной ямы». Этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием соотношений неопределенности импульса; в этом случае неопределенность координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту пребывания микрообъекта в потенциальной яме.

в) Оценка величины «размытия» края полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша

Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и независимо от него Францем, состоит в следующем 6 во внешнем однородном электрическом поле минимум энергии электронов в зоне проводимости в полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к «размытию» края основной полосы оптического поглощения (в результате становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины поглощенной зоны). Характеризующая указанное «размытие» величина энергетических смещения электронных состояний может быть оценена таким же методом, каким были получены предыдущие оценки. Воспользуемся классическим выражением для энергии заряженной частицы в электрическом поле напряженностью ?:
E = p_x² / 2m - ?ex.
Здесь m – эффективная масса электрона в зоне проводимости. Рассматривая px  и x как неопределенности импульса и координаты электрона и пользуясь в качестве соотношений неопределенностей равенством pxx = h, получаем
E(p_x) = p_x² / 2m - ?eh / px .
Далее, как обычно,  приравниваем к нулю производную                           и находим значение р0 = -    ?ehm, при котором функция Е(px) достигает минимума:
Е₀ = 3/2    (?eh)² / m          (?eh)² / m.
Это выражение как раз и дает оценку величины «размытия» края основной полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша.

г) Почему электрон не падает на ядро?

Постулируя стационарные состояния, теория Бора не объяснила, почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение ?px?x  > h объясняет это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно, существенное уменьшение неопределенности его координаты: если до падения на ядро электрон был локализован в пределах атома, т.е. в области пространства, размеры которого порядка 10^-8 см, то после падения на ядро электрон должен будет локализоваться в области с линейными размерами меньше 10^-12 см. Более сильная локализация, как мы знаем, микрообъекта в пространстве связана с «размытием» его импульса, поэтому при падении на ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего требуется затрата энергии. Получается, что нужно усилие отнюдь не для того, чтобы «удержать» электрон от падения на ядро, а совсем наоборот – нужно усилие, чтобы заставить электрон локализоваться в пределах ядра.
На примере нулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микрообъект в потенциальной яме всегда имеет отличную от нуля минимальную энергию Е₀. Величина Е₀ зависит, в частности, от пространственных размеров ямы (от ее ширины а, определяющей степень пространственной локализации микрообъекта). Учитывая соотношения неопределенностей, легко сообразить, что
                         Е₀     h² / ma².

Если а уменьшается, то Е₀ растет. При достаточно малом а энергия Е₀ может стать больше глубины потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме микрообъект вообще не реализуется.
Падение электрона на ядро соответствует уменьшению ширины потенциальной ямы от 10^-8 до 10^-12 см. При этом минимальная энергия должна возрастать – от 10 до 109 эВ (и больше). В результате минимальная энергия электрона оказывается на несколько порядков больше энергии связи нуклона в атомном ядре. Это значит, что в ядерной потенциальной яме электрон вообще не реализуется, так что никаким образом даже «насильно» нельзя его заставить локализоваться в пределах ядра.
Тем самым не только снимается «проблема падения электрона на ядро», но и решается другой принципиальный вопрос: в состав атомного ядра электроны не входят.

д) О «траектории» микрообъекта

Чтобы начертить траекторию некоей частицы, надо, строго говоря, для каждого момента времени знать координату и импульс частицы. Поскольку, согласно соотношению неопределенностей   ?px?x  > h, микрообъект не может иметь и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса, то отсюда следует вывод: понятие траектории к микрообъекту, строго говоря, неприменимо.
Отказ от траектории связан с наличием у микрообъектов волновых свойств, которые не позволяют рассматривать микрообъекты как классические корпускулы. С перемещением микрообъекта вдоль оси х нельзя сопоставлять дифференцируемую функцию х(t), столь широко используемую в механике классических объектов; по известному значению х в некоторый момент t нельзя предсказать значение координаты микрообъекта в момент t+dt.
В применении к теории Бора означенное обстоятельство означает отказ от самого понятия «орбита электрона в атоме». Можно говорить о локализации электрона в пределах атома в целом; орбита же требует существенно большей пространственной локализации. К чему может привести такая локализация, можно почувствовать, обратившись к рассмотренной выше проблеме «падения электрона на ядро». Планетарная модель атома оказалась таким образом, лишь некоторым промежуточным этапом в процессе развития наших представлений об атоме. Много позднее, в 50-е годы, сам Бор, смеясь, вспоминал, как после одной из лекций вышел студент и спросил: «Неужели действительно были такие идиоты, которые думали, что электрон вращается по орбите?»

Существуют, однако, ситуации, в которых понятием «траектория микрообъекта» пользоваться все же допустимо. В качестве примера рассмотрим движение электронов в кинескопе телевизоров. Импульс электрона вдоль оси трубки есть р =  2meU, где U – ускоряющее напряжение. Формирование пучка электронов означает определенную локализацию координаты в поперечном направлении; степень этой локализации характеризуется диаметром пучка d. Согласно соотношению ?px?x  > h, должна существовать неопределенность импульса электрона в направлении, перпендикулярном оси пучка: ?p    h / d. В силу этой неопределенности электрон может отклонится от оси пучка в пределах угла ??    ?p / p     h / pd. Пусть L – длина пути электрона в кинескопе; тогда неопределенность положения точки попадания электрона на экран будет характеризоваться величиной ?x      L??      Lh / pd. Полагая U=20 кВ, d=10-3 см, L=100 см находим отсюда ?x  10-5 см. Таким образом, обусловленное соотношением неопределенностей «размытие» точки попадания оказывается значительно меньше диаметра пучка. Ясно, что в таких условиях движение электрона можно рассматривать классически.

е) Возможность подбарьерного прохождения микрообъекта (туннельный эффект)

Предположим, что имеется потенциальный барьер, высота которого U  больше,  чем  энергия  частицы  (рис.4).  Поставим вопрос: может ли частица, находясь где-то слева от барьера, оказаться через некоторое время справа от него  при  условии,  что она не получает энергии извне? Классическая  механика   дает  отрицательный  ответ – классическая  корпускула не  может   «пройти»   под  барьером;  если  бы это случилось,  то,  например в точке А полная энергия частицы оказалась  бы  меньшей  ее  потенциальной  энергии,  что  физически  абсурдно.                                                                                                         
Остается  ли  этот  запрет  в  силе и для микрообъектов? 
Можно показать, что не остается – он снимается соотношением ?E?t > h. Пусть микрообъект движется откуда-то из бесконечности слева и встречается с потенциальным барьером. До этой встречи он находился в состоянии свободного движения сколь угодно долго и поэтому его энергия имела определенное значение. Но вот микрообъект вступает в взаимодействие с барьером, а точнее, с теми объектами, которые обусловили возникновение барьера. Предположим, что взаимодействие длится в течении времени ?t. Согласно соотношению ?E?t > h, энергия микрообъекта в состоянии взаимодействия с барьером уже не будет определенной, а будет характеризоваться неопределенностью ?E > h / ?t. Если эта неопределенность порядка высоты барьера U, то последний перестает быть для микрообъекта непреодолимым препятствием. Итак, микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Этот специфический квантовый эффект, который называют туннельным эффектом. Он объясняет, в частности, явление ?-распада атомных ядер. Подчеркнем, что при рассмотрении туннельного эффекта уже нельзя представлять движение микрообъекта по пунктирной линии, изображенной на рис.4. ведь пунктирная линия соответствует классической траектории, а у микрообъектов траектории нет. Поэтому нет смысла пытаться «уличить» микрообъект в том, что он в какой-то момент времени «оказался под потенциальным барьером».