Ротор. Теорема Стокса

Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от  до  выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора   по контуру Г.

 Циркуляция =

Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г1 и Г2.

Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.

Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат.

Знак минус ставится тогда, когда направления cx не совпадает с направлением обхода.

Учитывая, что  , получим:

Аналогично для сторон квадрата 2 и 4:

,

Тогда циркуляция по квадрату будет равна:

, где S – площадь квадрата.

Разделив циркуляцию на , найдём проекции   на оси координат:

   (1*)

   (2*)

   (3*)

Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат.

Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора  в декартовой системе координат будет иметь вид:

Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру:

Теорема Стокса: циркуляция вектора  по замкнутому контуру равна потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром.

Отметим, что

Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (намбла)

Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.