7 Устойчивость стохастических систем
|
|
В радиоавтоматике все без исключения системы являются стохастическими, т.е. сама динамическая система описывается стохастическими разностными уравнениями. Наблюдения тоже записываются с учетом шумов.
1) Линейные стохастические системы
(1)
;
- шум динамической системы
- шум наблюдений
- m-мерный вектор
с - матрица перехода
Устойчивость определяется нормой матрицы ‘c’.
Достаточным условием устойчивости (1) является :
, где
(2)
, где
- элементы матрицы ‘c’
с =|
|, i=1,...,m ; k=1,...,m
Если условие (2) выполняется, то система всегда будет устойчива.
Замечание: В некоторых случаях система может быть устойчивой , если
, потому что условие (2) является достаточным, но не необходимым.
Пример стохастической системы 1-го порядка:
(1)’ 
Оценка
- система будет устойчива при 0<c<1.
Устойчивость нелинейных систем
Нелинейная стохастическая система :
(3)
Устойчивость нелинейных динамических систем определяется функцией Ляпунова.
Определение устойчивости по Ляпунову для детерминированной системы.
Вводится специальная функция, называемая функцией Ляпунова. Обозначается :
. Функция удовлетворяет следующим
условиям :
1. Если x=0, то
=0
2. Приращение функции Ляпунова во времени D
0,
т.е. функция должна быть убывающей:
Анализ качества работы стохастических систем радиоавтоматики
Качество линейных и нелинейных стохастических систем определяется реальным качеством фильтра. (см. выше) Синтез предполагает, что модель соответствует реальному случайному процессу, который мы фильтруем. В этом случае качество определяется следующим образом :
Пример: Одномерный фильтр Калмана.
Теорема : Процесс тогда и только тогда адекватен модели, когда невязка является белым шумом.
Замечание: Это может случиться только тогда, когда
Проблема качества определяется проблемой экстраполяции.
