6 Управление нелинейными динамическими системами с помощью отрицательной обратной связи

Постановка задачи

Определение : Следящим измерителем называется система, осуществляющая оценку некоторого параметра (который является случайным процессом) в следящем режиме.

  Параметр может иметь следующий физический смысл :

а) Угловые координаты некоторого летательного аппарата,
которые изменяются во времени.
б) Изменение во времени доплеровской частоты.      
в) Дальность до объекта.

Пример : летательный аппарат

       Структурная схема следящего измерителя

D(t) - невязка.
 - оценка.
Эта схема была построена в 30х годах инженерами-учеными.
Однако сначала 60х годов оказалось, что ее можно синтезировать, используя теорию нелинейной фильтрации.
  На рис.1 представлена схема следящего измерителя, где управление осуществляется с использованием ООС. Эта  структура состоит из 3х блоков.

1й блок: - дискриминатор. На вход его подается смесь сигнала S(t,q(t))+h(t) (аддитивная смесь), где
q(t) - меняющийся парметр. Нужно получить его оценку .
На другой вход дискриминатора подается копия сигнала S(t,q(t)), которая должна повторять сигнал, спрятанный в шумах. Это достигается путем экстраполяции (предсказание) случайного процесса. На входе дискриминатора образуется невязка :  - это есть невязка нелинейной
фильтрации.

2й блок: - фильтр экстраполятор (блок фильтрации). На его вход поступает невязка. 2й блок формирует текущую оценку случайного процесса q(t). Это окончательный нелинейный фильтр - расширенный фильтр Калмана. В этом же блоке формируется оценка экстраполяции (см. далее) и эта оценка подается на синтезатор опоры.

3й блок: - формирует копию сигнала. Оценка q(t) формируется по следующему критерию :
- критерий среднеквадратической ошибки.

Оптимальная оценка по критерию минимума среднеквадратической ошибки получается с помощью только лишь нелинейной фильтрации.

Замечание : Фильтрация нелинейна потому, что невязка формируется нелинейно ( оцениваемый параметр
q(t) входит в сигнал нелинейно), S(t,q(t)) -
нелинейно.

Принцип экстраполяции для задач синтеза следящих измерителей управляемых с помощью ООС

Следящий измеритель отслеживает некоторый (многомерный)
параметр , причем имеются наблюдения :

(1)         , где  - некоторая нелинейная
функция

В радиоавтоматике,в непрерывном времени это выглядит так:

 , где ;  0<t<T.

А -амплитуда гармонического колебания, которая, например, несет информацию об угловом положении цели.
Т - время наблюдения
t - время запаздывания, несет информацию о временном положении сигнала

- доплеровская частота.
y(t)- модуляция сигнала (известна заранее)
j(t)- некоторая начальная фаза сигнала, которая несет информацию об угловом положении цели. Либо j(t)- ме      шающий параметр.

- доплеровская частота.
y(t)- модуляция сигнала (известна заранее)
j(t)- некоторая начальная фаза сигнала, которая несет информацию об угловом положении цели. Либо j(t)- ме      шающий параметр.

            
Система слежения за q(t) - следящий измеритель. Общий вид записи см. (1).

Решение проблемы синтеза следящего измерителя :

Пусть q(t).Рассмотрим q(t) на дискретной сетке ®,
где , Dt - интервал дискретизации.

(2)            ;  g<1
(3)             - 3х мерный вектор,
 - фазовая координата
 - приращение скорости
 - ускорение (второе приращение)
Используя (3)  модель (2) преобразуется :

(4)              
h=|1 0 0| - вектор 3?3 ,
А - матрица 3?3, такая, что получается модель (2).
Используя модель (4) видим, что верхнее уравнение линейное, а нижнее уравнение нелинейное. Используя теорию нелиненой фильтрации получим оценку :
(5)                  

(5) - уравнение нелинейной фильтрации.
Структурная схема, которая реализует алгоритм следящего измерителя () выглядит так :

Экстраполяция.a,b,g - фильтры

Реализация нелинейного фильтра по формуле (5) несмотря на ее реккурентный характер достаточно сложна для реализации на сигнальных процессорах, поэтому часто используют еще одно упрощение - переходят от векторно-матричной записи нелинейной фильтрации по формуле (5) к скалярной записи.

(заметим, что формула (5) реализует следящий измеритель некоторого параметра)

a,b,g - фильтры значительно упрощают синтез следящих измерителей. Идея состоит в том, что вместо матричного коэффициента  в формуле (5) подставляются скалярные величины.

Проектирование a,b,g - фильтра 

Модель :
  ; а<1
  - скалярное наблюдение

Был введен параметр :

                  
Поскольку мы ввели этот параметр, фильтр получился 3х  мерный. Далее вместо фильтра (5) запишем эвристический фильтр:         (Эвристика - полуинтуитивное мышление)   
(6) 
a<1, b<1, g<1

(7)  

Комментарии к (6) и (7) : Справа - невязки, взяты из теории нелинейной фильтрации. Однако в (6) экстраполированное значение получается из формулы (7). (7) - это кусок ряда Тейлора.

В нелинейной фильтрации экстраполяция получается автоматически. А здесь мы ее искусственно создали в формуле  (7) , но она очень сильно близка к формуле (5).
|            
Фильтрация |  Первое слагаемое в (6) (верхняя строка) есть координаты |   , плюс взвешенный, с весом a корректирующий член, который есть невязка. Эта невязка корректирует экстраполяцию за счет нового наблюдения.      

Фильтрация 

Первое слагаемое во второй строке (6) - есть приращения экстраполяция полного приращения()

  3-я формула в (6) - фильтрация второго при|  ращения координаты.

  Коэффициенты a,b,g получаются экспериментально.

(8)        } -подбор a,b,g

(8) - метод наименьших квадратов, подбор a,b,g на ЭВМ.

Структурная схема следящего измерителя за параметром   по формулам (6), (7).

 Синтез следящего измерителя доплеровской частоты

Доплеровская частота используется
для повышения помехоустойчивости РАС и для наведения ракет. Поскольку цель движется, то меняется a и следовательно и . Отсюда вывод: за доплеровской частотой нужно следить.

Проблема : синтезировать следящий измеритель доплеровской частоты.

Приходящий сигнал :

j(t) будем записывать в дискретные моменты времени.
 , i=1,2,...n ;

              Дискретная модель фаз :

(1)       ;   

       ;  ; T - период колебания.
g<1, такой, чтобы система была устойчива. Предполагаем,  что за Dt не меняется .

Синтез цифрового оптимального следящего измерителя доплеровской частоты.

              y(t)=Acos(wt+j(t))+h(t)
j(t) - фаза, которая содержит доплеровскую частоту
j(t)=
 - неизвестны, но постоянны.

Обычно для реализации цифрового измерителя используется квадратичный канал :

После такого преобразования снимается несущая, остается только доплеровская частота.
e(t) - низкочастотный шум.
Acosj(t),Asinj(t)  - НЧ компоненты.
На большей  требуются очень сложные и дорогие АЦП.

После цифровой обработки (АЦП) модель записывается :

(2)         , где  ;
h = |1 0| ;  ; 
Вектор динамической системы двумерный и динамическая системы тоже двумерная.

(3)      
Фильтр (3) дает оцнеку  . Реализация невязки аналогично как в a,b,g - фильтрах.

Синтез аналого-цифрового следящего измерителя.

Эта система используется для оценки доплеровской частоты, меняющейся во времени. Это следует из уравнения (1), где нижнее уравнение дает поправку доплеровской частоты за один шаг.Невязка формируется также как в a,b,g - фильтрах.