4 Динамические системы наблюдаемые на фоне шумов

  Одномерные динамические системы и фильтр Калмана

Шумы - называются шумами наблюдения (для активных помех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших квадратов. Задача фильрации требует уменьшить .

Вводим эмпирический риск :

- Это есть классическая запись метода наименьших квадра тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск   входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние шумов.

  Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда невозможно было бы записать риск . Необходимо так выбрать , чтобы получить минимум по всей траектории.
Эти  будем обозначать : - оптимальная траектория

Она получается путем дифференцирования  , i=1,2...n
Проделав математические операции получаем одномерный  фильтр Калмана.

Комментарий к формуле (3) :

   Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шумы  гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.

Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.
Если шумы  не являются гауссовскими, то такая оценка  является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выполняется когда n ® ? .
Формула (4) является критерием минимума среднеквадратической ошибки.
Фильтр Калмана дает оценку процесса  истинного процесса  для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4), т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.

Замечание 1 : Оптимальность означает, что не существует  другого фильтра, который мог бы дать такие  же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные фильтры дают большую ошибку)

Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма  сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал, что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаружения сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.

Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной  области, а не в частотной, как фильтр Виннера.

Фильтр Виннера - реализован в частотной области.

                                                 Анализ фильтра Калмана

                                 Фильтрация медленных процессов

            Фильтрация быстрых процессов

Тогда , в этом случае  (оценка) равна самим наблюдениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прошлым оценкам.

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и  динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой  и истинным значением  процесса.
-=динамическая ошибка.
Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.
При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка  входит в фильтр Калмана и выполняет роль корректирующего члена, который в формуле (3)
учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.
Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка, которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает наблюдения на шаге ‘n’) Вес  учитывает апприорную динамику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного  алгоритма только в том случае, если имеется модель  случайного процесса, который он фильтрует.
2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только в том случае, если реальный процесс близок к модели, которую мы используем.

            Многомерный фильтр Калмана

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной системой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой системе координат :

Траекторный фильтр 2-го порядка

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка - наблюдение.

Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по модели (1) составим многомерную модель.

Траекторный фильтр 3-го порядка

Теория нелинейной фильтрации

    Здесь нелинейные модели записываются в виде :

(1)     ;

здесь : верхняя функция - нелинейная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.
    Функция  генерирует на любом интервале некоторый случайный процесс . Это есть модель некоторого случайного процесса, более богатая, чем все предыдущие модели.
    Уравнение наблюдений : наблюдается не сама , а некоторая функция j();наблюдения ведутся на фоне шумов
   - шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку , такую, чтобы :
     (2)   
                      
  Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической ошибки. 
2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в    фильтре Калмана.

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) - - линеаризуются.
         
Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора, линейная часть (1-я, 2-го
члена). ( j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые производные).

 

    Разложение в ряд Тейлора в точке        
 
где  - оценка, которую мы еще не знаем, но собираемся находить.
Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим линейную систему :

(2)               

      Коэффициенты  a,b,c,d находятся после подстановки.
 и  имеют произвольное распределение.
Будем использовать метод наименьших квадратов для нахождения оценок .

 ;   ;
Выпишем эмпирический риск :  

r - функционал.

После линеаризации :
    
производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции  получаем :

(3)     

Выводы :
        1. В связи с тем, что начальная точка разложения
           в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-
           ке , то несмотря на линеаризацию, урав-
           нение (3) получилось как нелинейное и оно по-
           хоже на уравнение (1) модели.
        2. В отличие от фильтра Калмана, в , при рек-
           курентном его вычислении входит  - оценка
           ‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно
           вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-
           мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-
           вует так называемая обратная связь.

Пример нелинейной фильтрации :

             ;  
T - период колебания
t - период дискретизации
t - текущее время
- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

      процесс наблюдается на фоне шума

 - дискретная частота;

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате была минимальной.

 
(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(разностное уравнение)    

Структурная схема ФАП

На вход поступает аддитивная смесь.

Принцип работы ФАП

Измеритель фазы является следящей системой с отрицательной обратной связью. Опорное колебание  с фазой  - экстраполированная фаза. ?. Чем точнее экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точнее будет оценка.