4 Динамические системы наблюдаемые на фоне шумов
|
Одномерные динамические системы и фильтр Калмана
Шумы - называются шумами наблюдения (для активных помех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших квадратов. Задача фильрации требует уменьшить .
Вводим эмпирический риск :
- Это есть классическая запись метода наименьших квадра тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние шумов.
Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда
невозможно было бы записать риск
. Необходимо
так выбрать
, чтобы получить минимум по всей траектории.
Эти
будем обозначать :
- оптимальная траектория
Она получается путем дифференцирования
, i=1,2...n
Проделав математические операции получаем одномерный
фильтр Калмана.
Комментарий к формуле (3) :
Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шумы гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.
Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.
Если шумы
не являются гауссовскими, то такая оценка
является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выполняется когда n ® ? .
Формула (4) является критерием минимума среднеквадратической ошибки.
Фильтр Калмана дает оценку процесса
истинного процесса
для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4),
т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.
Замечание 1 : Оптимальность означает, что не существует другого фильтра, который мог бы дать такие же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные фильтры дают большую ошибку)
Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал, что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаружения сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.
Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной области, а не в частотной, как фильтр Виннера.
Фильтр Виннера - реализован в частотной области.
Анализ фильтра Калмана
Фильтрация медленных процессов
Фильтрация быстрых процессов
Тогда , в этом случае (оценка) равна самим наблюдениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прошлым оценкам.
Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и динамическую ошибку.
Динамической ошибкой называется разница между оценкой
и
истинным значением
процесса.
-=динамическая ошибка.
Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.
При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.
Невязка
входит в фильтр Калмана и выполняет роль
корректирующего члена, который в формуле (3)
учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.
Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке
плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,
которая взята с весом
. (Корректирующий член учитывает
наблюдения на шаге ‘n’) Вес
учитывает апприорную динамику системы (модели).
Вывод (по одномерному фильтру Калмана):
1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного
алгоритма только в том случае, если имеется модель
случайного процесса, который он фильтрует.
2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только
в том случае, если реальный процесс близок к модели,
которую мы используем.
Многомерный фильтр Калмана
Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :
Траекторные изменения
Часто требуется получить оценку траектории летательного аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной системой.
Летательный аппарат рассматривается в некоторой системе координат :
Траекторный фильтр 2-го порядка
Первые две строки (1) - это модель, последняя строка - наблюдение.
Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по модели (1) составим многомерную модель.
Траекторный фильтр 3-го порядка
Теория нелинейной фильтрации
Здесь нелинейные модели записываются в виде :(1) ;
здесь : верхняя функция - нелинейная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.
Функция
генерирует на любом интервале некоторый случайный процесс
. Это есть модель некоторого случайного процесса, более богатая, чем все предыдущие модели.
Уравнение наблюдений : наблюдается не сама
, а некоторая функция j();наблюдения ведутся на фоне шумов
- шум нелинейной динамической системы (шум модели)
1) Требуется найти оценку
, такую, чтобы :
(2)
Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической
ошибки.
2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в
фильтре Калмана.
В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть
лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -
- линеаризуются.
Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,
линейная часть (1-я, 2-го
члена). ( j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые производные).
Разложение в ряд Тейлора в точке
где
- оценка, которую мы еще не знаем, но собираемся находить.
Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим
линейную систему :
(2)
Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.
и
имеют произвольное распределение.
Будем использовать метод наименьших квадратов для нахождения оценок
.
;
;
Выпишем эмпирический риск :
r - функционал.
После линеаризации :
производная из r берется легко
Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции получаем :
(3)
Выводы :
1. В связи с тем, что начальная точка разложения
в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-
ке
, то несмотря на линеаризацию, урав-
нение (3) получилось как нелинейное и оно по-
хоже на уравнение (1) модели.
2. В отличие от фильтра Калмана, в
, при рек-
курентном его вычислении входит
- оценка
‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно
вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-
мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-
вует так называемая обратная связь.
Пример нелинейной фильтрации :
;
T - период колебания
t - период дискретизации
t - текущее время
- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1
процесс наблюдается на фоне шума
- дискретная частота;
Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате была минимальной.
(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(разностное уравнение)
Структурная схема ФАП
На вход поступает аддитивная смесь.
Принцип работы ФАП
Измеритель фазы является следящей системой с отрицательной обратной связью. Опорное колебание с фазой - экстраполированная фаза. ?. Чем точнее экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точнее будет оценка.