Третий этап
|
|
Часть 4
Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.
Осуществляется предельный переход:
Оценим
и их производные:
Докажем, что последовательность фундаментальна.
Пусть N>M ; рассмотрим :
Значит
-фундаментальная в
- полном , т.е.
.
Надо доказать, что u - обобщенное решение, если
-обобщенное решение.
; при переходе к пределу получим:
Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
(1)
(2)
(3)
(4)
Теорема 1.
Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.
Доказательство.
Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.
Возьмем:
где:
- произвольная,
.
Интегральное тождество приобретет следующий вид:
Теорема доказана.
Анизотропные пространства Соболева.
Определение.
Анизотропным пространством Соболева
называется множество функций
.
Вводится скалярное произведение:
(1)
Свойства пространств:
Теорема.
Пространство
-полно.
Доказательство.
Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.
Пусть
через
.
Теорема 2.
Теорема 3.
-сепарабельно.
Доказательство - продолжение функции до финитной.
Теорема 4.
всюду плотно в
. Возьмем
Теорема 5.
Для
можно определить след :
и при этом:
.
Обобщенные решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности.
Определение.
Обобщенное решение
- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если
:
выполняется интегральное тождество (4).
Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).
-
собственные значения;
-
ортогональный базис в
;
-
ортонормированный базис в
.
Будем считать:
при почти всех t интегрируема с квадратом в
.
Равенство Парсеваля:
f-измерима и
по
неравенству Гельдера.
.
По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и
поменять местами
.
Решение имеет вид:
Надо доказать сходимость в
.
Теорема.
ряд
(6) сходится в пространстве
к
некоторой функции
,
которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:
Доказательство.
Первый этап.
Предположим, что правая часть уравнения имеет вид:
,
а начальная функция:
.
Рассмотрим:
-интегральное тождество выполняется.
Второй этап.
Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности
.
Оценим модуль:
Интегрируем слева и справа:
Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:
Переходим к пределу:
Надо доказать, что u - задает решение задачи.
При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:
Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.
Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Теорема.
Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.
Доказательство.
Пусть
-обобщенные
решения, оценим
.
-
добавлена гладкость по t.
Условия, налагаемые на v:
.
Формула Кирхгофа.
Дополнительные обозначения:
пусть есть
,
-
фиксируется. Обозначим :
-
конус с вершиной в
.
Возьмем произвольную
.
Обозначим:
.
Выберем
и
рассмотрим :
-
вне цилиндра, но внутри конуса.
Обозначим через
-
часть конической поверхности, ограниченной
:
-
дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом :
-
замыкание конуса.
Замечание:
-
волновой оператор.
Рассмотрим вспомогательную функцию:
.
Рассмотрим:
.
Заметим:
.
В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.
Проинтегрируем левую и правую части тождества по
:
,
где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.
Разобьем этот интеграл на 3 интеграла:
;
потом
.
Рассмотрим на конической поверхности
интеграл
Вычислим все частные производные функции v по
и
по направлению внешней нормали к поверхности:
Зная, что
,
получим:
,
где:
.
Вывод:
.
Рассмотрим
,
зная, что для
.
Переход к пределу:
Вычислим:
-
внутренняя нормаль к цилиндру.
Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:
учитывая:
на
цилиндрической поверхности.
В силу оценки:
Получим:
Получена формула Кирхгофа:
(1)
 |
Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):
Продифференцировано первое слагаемое:
Геометрический смысл формулы.
1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания
конуса - трехмерной сфере.
2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса -
трехмерному шару.
3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности
конуса.
СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через
значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан
на боковой поверхности конуса.
Задача Коши для волнового уравнения.
Обозначим:
Определение.
Функция u(x,t) , такая, что:
1)
-
дважды непрерывно дифференцируемая на
;
2)
-
один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;
называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:
Пусть n=3.
Обозначим:
По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса
через
функции
в
этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями
в
любом конусе и, значит, в полупространстве.
Теорема единственности.
Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.
Вопрос существования.
Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4):
Таким образом, вопрос о существовании классического решения
сводится к нахождению условий, налагаемых на функции
,
при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой
задачи. Получено лишь достаточное условие.
Предварительные рассуждения.
Введем функцию:
Есть
.
Для каждого
определяется
как
интеграл.
Производится исследование
.
Лемма 1.
Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным
непрерывны до порядка k :
,
тогда:
1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x
и t непрерывны на множестве
:
2) для
и
функция
удовлетворяет
однородному волновому уравнению при и следующим условиям:
Доказательство.
В (5) перейдем к новой переменной, тогда:
Отсюда следует первое утверждение леммы.
Применим
к
,
тогда:
Подставим t=0:
.
Возьмем производные по t от
:
.
Рассмотрим производную при t=0:
Преобразуем второе слагаемое:
обозначим :
тогда (7) примет вид:
.
Используем его для вычисления второй производной по времени:
Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по
сфере, а затем от 0 до t, получим равенство:
-
вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.
Лемма доказана.
Теорема 2.
Пусть:
- трижды непрерывно дифференцируемая в
:
;
-
дважды непрерывно дифференцируема в
:
;
- непрерывны :
;
тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа (4).
Доказательство.
Рассмотрим второе слагаемое:
в
силу леммы 1 есть:
Рассмотрим первое слагаемое
.
T.к.
,
то:
Начальные условия:
;
.
Рассмотрим:
,
где:
-
обозначение.
В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до
второго порядка включительно непрерывны на множестве
.
Функция G удовлетворяет:
Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по
x до второго порядка включительно в области
,
и её первая производная по времени непрерывна в этой области.
Вычислим производную F по t:
но:
,
и:
Следует:
.
-
удовлетворяет волновому уравнению:
-
удовлетворяет однородным начальным условиям:
Окончательно:
-
удовлетворяет волновому уравнению
и
начальным условиям:
.
Замечание.
Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения
задачи Коши в случае, когда n=3, опиралось на интегральное
представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле
Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти
формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её
первые производные и даламбериан в конусе.
Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и
единственности для произвольного числа переменных (n>3).
Замечание.
Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно
получить из n=3 методом спуска.
