Обобщённые и классические решения

Часть 3

                 (1)
                                        (2)
Функция  - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если , то обобщённое решение  обладает следующими свойствами :  .
Доказательство.
Пусть , тогда :

Теорема 2.
Пусть  - ограниченная область;
, тогда обобщённое решение
.
Доказательство. 
Теорема 3.
Пусть  - ограниченная область;
, тогда обобщённое решение
 и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Доказательство.  , следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).
Теорема 4.
Пусть  - обобщенная  собственная функция оператора   с однородными условиями Дирихле, тогда: .
Доказательство.

Если

По теореме вложения: 

Задача Неймана для уравнения Пуассона.

Определение.
Функция  называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:

Пусть  - ограниченная область.
Теорема 1.
Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е:   .
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
1)
2)   - компактный, самосопряженный, положительный оператор.
Доказательство - аналогично.

Рассмотрим однородное уравнение:
для однородной задачи (1) (2)  
имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения :

Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение:


Теорема 2.
1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для .
2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда   , где w - решение однородной сопряженной задачи.
3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.

Задача Неймана:

Рассмотрим задачу на собственные значения:
Теорема 3.
1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:
.
2. Соответствующие собственные функции  составляют ортонормированный базис в .
3.  составляют ортонормированный базис в .
Доказательство.

Первая часть теоремы доказана.
По Гильберту-Шмидту строится  -  ортогональный базис в  и пусть .

 - ортонормированный базис в .
Теорема 3 доказана.
Задача Дирихле - однозначная разрешимость.

Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.
Пусть  - правая часть уравнения. Пусть  - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:
Доказательство - аналогично теореме 3.

Теорема 5.
Пусть граница  ; пусть правая часть  .   - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .

Теорема 6.
Пусть граница  ; правая часть -  ;   - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .
Доказательство.
Обобщенное решение:  для .

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

Метод Ритца.
Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.
Рассмотрим:    , где:
l(u) - линейный, ограниченный функционал в .
Найдем минимум квадратичного функционала:

- конечное число.
Найдется  такая, что:  - минимизирующая последовательность.
, такой, что:  E(u)=d . u - минимизирующий элемент.
Теорема 1.
Существует единственный , минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u  :  .
Доказательство.
Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:

Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":

Доказано: последовательность  - фундаментальная в полном пространстве, значит:   и, значит : 
.
Доказано: если  - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.
Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: .
Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.

Пусть  составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в , т.е. полная система, значит:
 может быть аппроксимирован  .
Обозначим через  - конечномерное подпространство   , натянутое на первые k функций .
Рассмотрим  - задача сводится к конечномерной.
, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её:
Необходимое условие экстремума: , тогда:
,  где i=1,...,k.                            (1)
Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.

Обозначим решение   , и:  - монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.
- последовательность Ритца.
Теорема 2.
Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u :  .
Доказательство.
Т.к.  всюду плотна в  , то:  , такие что:   .
Рассмотрим значение  :

Таким образом:  , и при :
.
Теорема 3.
 является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем   , то:   , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через   . Необходимое условие экстремума:    .


что и требовалось доказать.
Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:
,
т.е.  u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.
Выводы.
1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).
2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.
3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.

Примеры.
1. 


- интегральное тождество                      ( 4  )
(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Теорема 4.
1. Существует единственный  , минимизирующий функционал в  ;
- минимизирующая последовательность
2. Последовательность Ритца для функционала (3) в  является минимизирующей.
3. является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).

2. Задача Неймана.
Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из , где   - замкнутое подпространство пространства .
Обобщенное решение задачи (7)-(8) : 
Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: .
Решение существует и единственно.

Будем полагать : , тогда:

Теорема 5.
1. Существует единственный  , минимизирующий функционал в  ;
- минимизирующая последовательность
2. Последовательность Ритца для функционала (10) в  является минимизирующей.
3. является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).

Изучение классических решений эллиптических задач.

§1. Формула Грина.

- ограниченная область;



Вычтем из первого второе:

Интегральное представление производной.

Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:

Следствие.

Теорема 1.
Пусть   - ограниченная область с границей класса   .
Пусть   , тогда:

Доказательство.
Рассмотрим:
 -- область без шара.

Обозначим : 

Надо доказать, что : .
Обозначим : 

где :  - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.
Учитывая, что:

Обозначим :

Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.
Пусть u(x) - гармоническая в  .
D- ограниченная область  .

Теорема 1.
Пусть  - гармоническая функция в Q , и пусть:
, тогда :
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.

Обозначим :

Вторая теорема о среднем.
Пусть   - гармоническая в Q функция;
, тогда : 
Доказательство.



  , что и требовалось доказать.

Принцип максимума.
Теорема.
- ограниченная, связная;
u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в  , , тогда:

Доказательство.
Предположим противное: , .
Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает  с M ,т.е. u-const. Возьмем     и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: . Шары такие   :      и    , причем:  , .


Если        ,то:     , 
 



Теорема доказана.

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.