5. Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных)

   (1)
                (2)
                       (3)
                    (4)
                                      (5)
 - собственные векторы и собственные значения.

                            (6)

 - общее решение однородного уравнения (6)
 - частное решение неоднородного уравнения (6)

 - общее решение уравнения (6).

Рассмотрим функцию:

 - бесконечно дифференцируема при .
Если  из , то:

, и при  функция склеивается как бесконечно гладкая.

-финитная :
 - замыкание множества, где   отлична от 0.
.
Введём   - функция n переменных.
Свойства  :
1) - бесконечно дифференцируемая, финитная:
.
2)  - замкнутый шар радиуса h с центром в O.
.
3)
Доказательство.
, 

С находится из условия .
4) .
Обозначим:

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если , то:
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: .
Если , то  : .
Свойства функции :




 - срезающая функция.
Пространство .
Определение.
Пусть . Назовём множество функций , пространством , если:
-  - измеримы в Q;
-  в смысле Лебега.
Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Утверждение (без доказательства).
 - полное пространство.
Вводится .
Свойства пространства .