4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных)

Первая смешанная задача.
      (1)
                   (2)
                  (3)
                  (4)
                      (5)
                                           (6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

 - изолир. .
 - ортонормированный базис в .
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции  - разложены по базису  

тогда и u(t,x) можно разложить по базису  : 
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

                  (7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.
                 (8)
             (9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):

 - общее решение однородного уравнения (7)

 (10)

В результате:    - частное решение неоднородного уравнения (7).
 - общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:

т.е.   .

Замечание: не обоснована сходимость рядов.