2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка

.
 - матрица квадратичной формы.
 - n вещественных собственных значений матрицы A
 - количество положительных собственных значений.
 - количество отрицательных собственных значений.
 - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
.
2.Если  = n - 1,  = 1, или   = 1,  = n - 1, то уравнение гиперболическое.
Ex:   - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:

Для волнового уравнения:

3.Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.
Ex:  .
4.Если , то параболическое уравнение.
Ex:  , и - уравнение теплопроводности.
 
Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в  частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:

Уравнение (1) в новой системе координат:
    (1')
Матрица Якоби:
.
В результате:

Ex:

гиперболическое уравнение.
  - канонический вид  волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.