1. Некоторые определения и обозначения

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
  (1)
Пусть выбран любой, где , и его норма:
- дифференциальный оператор.
 - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.  (2)
Определение.
Открытое, связное множество  называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через или  будем обозначать границу области.
Определение.
 - (n-1)-мерное многообразие S в  принадлежит классу  (), если
для  и  такие, что:
, где
 однозначно проектируется на плоскость , при этом:
D - проекция данного множества на плоскость ,  - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
 - множество k  раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
 - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .
, аналогично .
 - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: .