3. Представление Функции полиномом Лежандра

Основные сведения

Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :

. . . . . . . . . .

     Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:

,

 где       

и разлагаемая  функция  должна  быть  представлена  на  отрезке от -1 до 1.

Преобразование функции

Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до  необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:

и тогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда

Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:

Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:

Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:

А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

Рис. 5

т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.