Фурье
Скачать курсовую: Фурье |
|||
|
|
План курсовой работы
Введение
1. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
2. Представление функции интегралом Фурье
3. Представление Функции полиномом Лежандра
4. Дискретные преобразования Фурье
Введение
Этап I
Постановка задачи
Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95
а) б)
Рис. 1.1
Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.
Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.
№ элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Надежность |
0.6 |
0.6 |
0.6 |
0.3 |
0.7 |
0.4 |
0.3 |
0.5 |
0.1 |
Надеж.(резер.) |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.15 |
0.35 |
|
|
|
|
Теоретическая часть
Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.
Аксиомы теории вероятностей :
1. Вероятность любого события находится в пределах:
.
2. Если А и В несовместные события
, то
3. Если имеется счетное множество несовместных событий А1, А2, ... Аn, ...
при
, то
Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если
;
при
то
.
Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:
Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
.
Для независимых событий правило умножения принимает вид:
, или
Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.
Рис. 2.1
Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А1, А2, ... Аn, где Ai={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
.
Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.
Рис. 2.2
От события В={система будет работать} перейдем к противоположному:
={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие
есть произведение двух событий:
={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.
По правилу умножения для независимых событий:
Практическая часть
Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :
, а также резервной схемы (рис. 1б) :
Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока
Рис. 3.1
Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :
, где
,
,
,
,
.
Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения
:
Шаг первый, при N=1
< 0.95
Шаг второй, при N=2
< 0.95
Шаг третий, при N=3
< 0.95
Шаг четвертый, при N=4
< 0.95
Шаг пятый, при N=5
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность
.
Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :
, где
, а
- смотри выше.
Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения
:
При N=1 :
< 0.95
При N=2 :
< 0.95
При N=3 :
< 0.95
При N=4 :
< 0.95
При N=5 :
< 0.95
При N=6 :
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.
Этап II
1 Постановка задачи
- найти неизвестную константу функции f(x);
- выписать функцию распределения, построить их графики;
- найти математическое ожидание и дисперсию;
- найти вероятность попадания в интервал (1;4).
2 Теоретическая часть
Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.
Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:
.
Основные свойства функции распределения:
1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при
.
2)
.
3)
.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :
Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):
Основные свойства плотности распределения f(x):
1. Плотность распределения - неотрицательная функция
.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:
.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:
3 Практическая часть
Для нахождения неизвестной константы c применим выше описанное свойство:
, откуда
, или
Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:
- на интервале
- на интервале
- на интервале
Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание
и дисперсию
для случайной величины X :
Производя еще одну замену
приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно :
Также находим дисперсию :
И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :
Этап III
1 Постановка задачи
Дана случайная выборка объема n=100 :
104.6 |
95.2 |
82.0 |
107.7 |
116.8 |
80.0 |
100.8 |
124.6 |
99.4 |
101.4 |
100.6 |
86.3 |
88.2 |
103.8 |
98.5 |
111.8 |
83.4 |
94.7 |
113.6 |
74.7 |
114.3 |
86.9 |
106.6 |
94.9 |
105.9 |
88.6 |
96.6 |
93.7 |
90.8 |
96.5 |
110.2 |
100.0 |
95.6 |
102.9 |
91.1 |
103.6 |
94.8 |
112.8 |
100.1 |
95.3 |
113.9 |
113.9 |
86.1 |
110.3 |
88.4 |
97.7 |
70.1 |
100.5 |
90.9 |
94.5 |
109.1 |
82.2 |
101.9 |
86.7 |
97.4 |
102.1 |
87.2 |
94.71 |
112.4 |
94.9 |
111.8 |
99.0 |
101.6 |
97.2 |
96.5 |
102.7 |
98.6 |
100.0 |
86.2 |
89.4 |
85.0 |
86.6 |
122.7 |
101.8 |
118.3 |
106.1 |
91.3 |
98.4 |
90.4 |
95.1 |
93.1 |
110.4 |
100.4 |
86.5 |
105.4 |
96.9 |
101.9 |
83.8 |
107.3 |
107.5 |
113.7 |
102.8 |
88.7 |
112.5 |
79.4 |
79.1 |
98.1 |
103.8 |
107.2 |
102.3 |
2 Теоретическая часть
Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин
, не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.
Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания
.
Размах выборки есть величина r=Xn-X1, где Xn - max , X1 - min элементы выборки.
Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :
тогда частота попадания в отрезок
находим по формуле :
, где Vi - число величин попавших в отрезок
, причем
. Поделив каждую частоту на
получим высоту для построения гистограммы.
Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее mx* и статистическую дисперсию Dx* .
Которые находим как
Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :
.
Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :
,
то есть оценка
для m является несмещенной.
Найдем дисперсию этой оценки :
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка
для мат. ожидания m является и эффективной.
Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений Xi от среднего :
.
Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений:
.
, где правая часть есть среднее арифметическое значений случайной величины X2 сходится по вероятности к ее мат. ожиданию:
. Вторая часть сходится по вероятности к
; вся величина сходится по вероятности к
. Значит, оценка состоятельна.
Проверим ее на несмещенность, подставив в
вместо
его выражение и произведем действия:
.
Так как D* не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины
. Тогда
.
Найдем мат. ожидание величины D*:
.
Но
,
, и получаем:
.
Отсюда видно, что величина D* не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее мат. ожидание не равно D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой D* вместо D, будет проходить систематическая ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку
тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:
При больших n поправочный коэффициент
становится близким к единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени (оценок) этих характеристик нужно взять:
,
.
3 Практическая часть
Упорядоченная выборка
где n=100 количество замеров :
70.1 |
74.7 |
79.1 |
79.4 |
80.0 |
82.0 |
82.2 |
83.4 |
83.8 |
85.0 |
86.1 |
86.2 |
86.3 |
86.5 |
86.6 |
86.7 |
86.9 |
87.2 |
88.2 |
88.4 |
88.6 |
88.7 |
89.4 |
90.4 |
90.8 |
90.9 |
91.1 |
91.3 |
93.1 |
93.7 |
94.5 |
94.7 |
94.7 |
94.8 |
94.9 |
94.9 |
95.1 |
95.2 |
95.3 |
95.6 |
96.5 |
96.5 |
96.6 |
96.9 |
97.2 |
97.4 |
97.7 |
98.1 |
98.4 |
98.8 |
98.6 |
99.0 |
99.4 |
100.0 |
100.0 |
100.1 |
100.4 |
100.5 |
100.6 |
100.8 |
101.4 |
101.6 |
101.8 |
101.9 |
101.9 |
102.1 |
102.3 |
102.7 |
102.8 |
102.9 |
103.6 |
103.8 |
103.8 |
104.6 |
105.4 |
105.9 |
106.1 |
106.6 |
107.2 |
107.3 |
107.5 |
107.7 |
109.1 |
110.2 |
110.3 |
110.4 |
111.8 |
111.8 |
112.4 |
112.5 |
112.8 |
113.0 |
113.6 |
113.9 |
113.9 |
114.3 |
116.8 |
118.3 |
122.7 |
124.6 |
Размах выборки r=Xn-X1=124.6-70.1= 54.5
На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.
Табл. 3.1
Интервалы |
Число попаданий в интервал |
Частота попаданий в интервал
|
Высоты интервалов для гистограммы |
|
2 |
0.020 |
0.0036697 |
|
|
Сумма 1.000 |
|
По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания
,
для оценки дисперсии
.
Полагая в выражении нормальной плотности
, где
и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случае воспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :
Табл. 3.2
x |
f(x) |
|
0.0010445 |
и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1
Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х в k-й интервал по формуле
Табл. 3.3
 |
|
|
0.0115694 |
Для проверки правдоподобия гипотезы воспользуемся критерием согласия
для этого возьмем данные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в формулу :
Рис. 3.1
Определяем число степеней свободы (10-1-l)=7, где l - число независимых условий (количество параметров подлежащих оценки в нашем случаи их l=2, это mx, Dx - для нормального распределения). По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей и ее инженерные приложения.” - М.: Наука, 1988 находим при r=7, p=0.95
=2.17 для уровня значимости
и видим, что
, но даже меньше.
Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.
