3. Двойственные оценки - экономическая интерпретация и свойства

	Скачать доклад: 3. Двойственные оценки - экономическая интерпретация и свойства

Рассмотрим экономический смысл двойственных оценок (оценок оптимального плана) на примере экономико-математической задачи наилучшего использования ресурсов (в частности фонда времени работы производственного оборудования), формулируемой с разными критериями оптимальности:

1. Максимум прибыли.

2. Минимум себестоимости.

3. Максимум выпуска продукции в заданном ассортиментном соотношении.

Рассмотрим последовательно формулировку прямых и двойственных задач и проанализируем экономические свойства двойственных оценок в каждом случае.

$ 1 Оценки ресурсов - экономическая интерпретация Каноническая форма дает возможность экономической интерпретации значений двойственных переменных. В точке оптимума двойственные переменные (у) определяются как относительные оценки дополнительных переменных прямой задачи линейного программирования.

а) Предположим что дополнительная переменная Хij отвечающая i-му ограничению является небазисной в точке оптимума а само ограничение имеет вид: E Aij*Xj + Xs = Bi Так как Xs вне базиса равна нулю исходное ограничение E Aij*Xj <= Bi можно рассматривать как равенство в точке _ оптимума, т.е. E Aij*Xj = Bi Теперь по определению относительная оценка этой небазисной переменной - это величина на которую может возрасти целевая функция при увеличении этой переменной на единицу. Так как решение оптимально то относительная оценка положительна (неотрицательна) и поэтому целевая функция должна уменьшаться если дополнительная переменная возрастает и возрастать если дополнительная переменная уменьшается Пусть например i-я компонента вектора ограничений увеличилась на единицу, так что ограничение примет вид

_ E Aij*Xj = Bi + 1 или после перестановки _ E Aij*Xj +(-1) = Bi то есть дополнительная переменная Xs должна принять значение равное -1 чтобы i-ое ограничение оставалось равенством а относительная оценка даст соответствующее приращение целевой функции.

Таким образом относительная оценка i-ой дополнительной переменной дает величину прироста целевой функции на единицу увеличения элемента Bi вектора ограничений. Так как элемент Bi обычно представляет собой объем i-го ресурса то относительная оценка равная Yi называется оценкой ресурса (оценкой единицы i-го ресурса) ибо она представляет относительную ценность единицы дополнительного ресурса. Эти относительые оценки являются маргинальными оценками в том смысле что они действительны лишь при таком диапазоне изменения ресурсов Bi когда текущий базис остается оптимальным.

в) Если дополнительная переменная является базисной в точке оптимума то ее относительная оценка по определению равна нулю. Это также имеет смысл так как если ресурс использован не полностью _ E Aij*Xj < Bi то цена которую мы должны были бы заплатить за дополнительную единицу этого ресурса равна нулю. Это приводит к условию дополняющей нежесткости: В оптимальном решении_ _ или E Aij*Xj = Bi или Yi = 0 (либо и то и другое) _ _ или E Aij*Yi = Cj или Xj = 0 (либо и то и другое) Заметим что переменные Y недопустимы на протяжении всех итераций симплекс-метода до тех пор пока не будет достигнуто оптимальное решение.

Маргинальные ОЦЕНКИ

Оценки ресурсов связаны скорее с ограничениями а не с переменными.

Однако они часто используются для вычисления оценочных или стоимостных показателей, связанных с переменными прямой задачи.

Рассмотрим пример. Пусть в задаче связанной с суточной переработкой нефти некоторая переменная Xj соответствует объему неочищенной нефти закупаемой по цене 12.65 долл/баррель (Сj = -12.65) Существует ограничение сверху на объем закупаемой по этой цене

неочищенной нефти равный 50 тыс.баррель/день.

Это можно записать уравнением: Xj + Xs = 50 Где Xs - это дополнительная переменная. Пусть она имеет относительную оценку равную 1.04 долл/баррель в оптимальном решении - что это означает ? Оценка ресурса неочищенной неочищенной нефти равна 1.04 долл/баррель, но это вовсе не означает, что мы должны были заплатить только 1.04 долл за каждый дополнительный баррель неочищенной нефти. Это означает что мы должны быть готовы заплатить еще по 1.04 долл/баррель за возможность покупать дополнительный объем этой нефти при условии, что последующие закупки будут осуществляться по цене 12.65 долл/баррель: то есть целевая функция будет увеличиваться на 1.04 долл за каждый дополнительный баррель, который мы сможем купить по цене Сj уже учтенной в целевой функции.

Это означает, что м должны быть готовы к повышению цены до 12.65 + 1.04 = 13.69 долл/баррель за дополнительную поставку неочищенной нефти.

Заметим, что 13.69 долл/баррель - это равновесная цена при которой мы будем увеличивать нашу целевую функцию Р, если будем покупать по более дешевой цене чем эта: будем уменьшать Р если будем покупать за большую цену: сохраним Р неизменной если будем покупать точно за 13.69 долл/баррель.

Если мы определим что МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = РАВНОВЕСНАЯ ЦЕНА ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЦЕНА, то в нашем примере МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = 13.69 - 12.65 = 1.04 долл/баррель.

Маргинальная оценка переменной Xj - мэто чистый доход, который может быть получен за каждую единицу Xj закупленную сверх существующего лимита и равна оценке ресурса, то есть двойственной переменной того условия задачи которое ограничивает количество имеющегося ресурса Маргинальная оценка остается постоянной только внутри некоторой окрестности существующего оптимума, соответствующей пределам, внутри которых текущий базис остается оптимальным как при увеличении так и при уменьшении объема ресурсов (объема закупок).

Относительную оценку которая отвечает небазисной переменной равной своей нижней границе часто рассматривают как чистый эффект этой переменной. Если принимают решение (неоптимальное) увеличить небазисную переменную равную своей нижней границе то эта относительная оценка показывает уменьшение Р на единицу увеличения переменной (до некоторых пределов). Здесь относительные оценки

указывают на эффект (убытки), обусловленный отклонением от оптимального решения.

Так как компоненты вектора Aj (где j - номер небазисной переменной) показывают величину изменения значений текущих базисных переменных то их часто называют (маргинальными) нормами замещения, так что Aij - это норма замещения способа производства i на способ производства j.

ДИАПАЗОНЫ УСТОЙЧИВОСТИ

Часто говорят, что постоптимальный анализ - наиболее важная часть линейного программирования и нетрудно понять почему делается такой вывод. Большая часть параметров задачи ЛП точно не известна и на практике обычно берутся приближенные значения, которым должны быть равны эти параметры. Таким образом нас интересуют такие диапазоны изменения этих параметров, в которых оптимальное решение остается оптимальным в том смысле, что не меняется базис.

Исследуем три класса параметров: коэффициенты целевой функции Cj компоненты вектора ограничений Bi коэффициенты матрицы Aij

Изменения коэффициентов целевой функции

а) Небазисная переменая

Изменение коэффициента целевой функции небазисной переменной влияет на относительную оценку только этой переменной. Пусть коэффициент целевой функции изменится на величину q тогда _ _ Cj = Cj + q отсюда Dj = Dj - q

Например пусть матрицей А задан производственный процесс и пусть переменная Xj представляет количество некоторого производимого продукта, который может быть продан по цене Cj = 20 долл/ед В оптимальном решении эта переменная небазисная (=0) и ее относительная оценка = 1.40 долл/ед Таким образом если цен возрастет до 21.40 долл/ед продукта то относительная оценка станет = 0 и дальнейшее увеличение цены приведет к отрицательной относительной оценке. Это означает что текущее решение перестает быть оптимальным. В таком случае выгодно производить продукт представленный переменной Xj Следовательно 21.40 долл/ед продукта это равновесная цена для Xj , при любой более низкой цене оптимальное решение будет состоять в том чтобы совсем не производить этот продукт ( Xj остается небазисным) а при более высокой цене выгодно ввести Xj в базис. Для небазисной переменной диапазон устойчивости в котором Cj может меняться так чтобы текущее решение оставалось оптимальным задается выражением _ _ Cj + q, где -оо < q <= Dj и где Dj - относительная оценка переменной Xj отвечающая оптимальному решению. Заметим что при любом отрицательном q относительная оценка этой переменной останется положительной.

Многие ППП ЛП дают информацию и о диапазоне изменения переменной Xj (от нулевого до некоторого предельного значения) при котором не происходит смены базиса. Если q = Dj то относительная оценка = 0 что означает что Xj можно увеличивать не меняя значения целевой функции. Предельное значение до которого можно увеличивать Xj определяется формулой MIN (B/Aj)i Например предположим что в оптимальном решении вектор базисных переменных, -1 -1 текущий вектор ограничений B=B * b и вектор Aj=B *aj заданы в виде:

       X5          3.2         0.6
  Xb = X1      B = 1.5    Aj = 0.3
       X6          5.6        -1.2

Тогда получаем MIN (Bi/Aij) = 1.5/0.3 = 5.0

Таким образом мы можем сделать вывод о том что при цене в 21.40 долл/ед продукта или более становится выгодным производить продукт Xj то есть продукт которому отвечает переменная Xj ; на каждую единицу произведенного продукта Xj переменные X5 X1 X6 уменьшаются соответственно на 0.6 0.3 -1.2 единиц. Если мы произведем 5.0 ед продукта Xj то переменная X1 обратится в нуль и дальнейшее увеличение Xj потребует смены базиса. Заметим, что мы получили всю информацию не решая задачу заново, для продолжения анализа нам потребуется лишь выполнить операцию исключения соответствующую изменению базиса.

б) Базисная переменная

Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной влияет на относительные оценки небазисных переменных Рассмотрим увеличение коэффициента целевой функции i-ой сной переменной. В этом случае вектор коэффициентов целевой функции изменится следующим образом _ Cb = Cb + q*Ei, где Ei - вектор специального вида i-ая компонента которого = 1 а остальные нулю. Например

           0
      E3 = 0
           1
           0

Относительная оценка j-ой небазисной переменной станет теперь равной _

Dj = Dj + q*Aij

Для того чтобы решение оставалось оптимальным должно выполняться условие _

Dj => 0 то есть Dj^ + q*Aij => 0, где Dj^ - относительная оценка соответствующая текущему оптимальному решению.

Для базисной переменной диапазон устойчивости в котором может изменяться Ci оставляя оптимальным текущее решение удается выражением Ci + q, где

     MAX   {Dj^/-Aij} <= q <= MIN   {Dj^/-Aij}
   i/Aij>0                  i/Aij<0

Если отсутствуют коэффициенты Aij < 0 то q < +oo и аналогично если нет Aij > 0 то q > -oo Например пусть оптимальное решение задано следующим образом:

   Максимизировать  Р= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X5
   При условиях    X1 = 3.2 -1.0X4 -0.5X3 -0.60X5 />                   X2 = 1.5 +0.5X4 +1.0X3 -1.00X5
                   X6 = 5.6 -2.0X4 -0.5X3 -1.00X5

Если коэффициент целевой функции переменной X2 станет равным С2 + q то относительные оценки небазисных переменных изменятся следующим образом:

               _
                                                    _ D4 = 3.5 + q*(-0.5)
           _ D3 = 0.1 + q*(-1.0)
                      D5 = 0.25 + q*(+1.0)

Заметим что величины Aij имеют знаки противоположные тем, что приведены выше.

Диапазон значений для q вычисляется в соответствии с формулой:

   (0.25/-1.0) <= q <= MIN (3.5/0.5 , 0.1/1)
        -0.25  <= q <= 0.1

Если q принимает значение равное одной из двух границ то относительная оценка некоторой небазисной переменной становится равной нулю Предельное значение до которого можно увеличивать такую переменную вычисляется как и в предыдущем примере с небазисными переменными

Так в нашем примере при q = 0.1 относительная оценка переменной X3 равна нулю так что если коэффициент целевой функции переменной X2 увеличится на 0.1 или более станет выгодно производить X3 и мы сможем производить MIN {3.2/0.5 , 5.6/0.5} = 6.4 единиц X3 когда X1 обратится в нуль и потребуется изменение базиса.

Подведем итог:

1. Существует диапазон изменения q коэффициентов целевой функции как базисных так и небазисных переменных в которых текущее оптимальное решение остается оптимальным. Для небазисных переменных существует только верхняя граница диапазона изменения q ; для базисных переменных обычно существует и нижняя и верхняя граница.

При значении коэффициента целевой функции, выходящем за пределы этого диапазона текущее оптимальное решение становится неоптимальным, так как появится небазисная переменная с отрицательной относительной оценкой.

2. 2. Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной приводит к изменению значения целевой функции.

3. Эффект от изменения коэффициентов целевой функции можно рассматривать с двух позиций: с точки зрения сбыта нас интересуют равновесные цены; с точки зрения производства нас интересует диапазон изменения коэффициентов целевой функции, в пределах которого текущий план ( представленный текущим базисом ) остается оптимальным.

Изменение компонент вектора ограничений

Рассмотрим влияние изменения = Bi + q для некоторого 1 <= i <= m Обычно принято рассматривать случай, когда компонента Bi является правой частью ограничения-неравенства в которое введена дополнительная переменная. Мы хотим определить такой диапазон изменения Bi в котором текущее решение остается оптимальным. В случае ограничения-равенства мы могли бы рассматривать соответствующую искусственную переменную как неотрицательную дополнительную (которая должна быть небазисной в допустимом решении)

а) Базисная дополнительная переменная

Если дополнительная переменная i-го ограничения базисная то это ограничение не является активным в точке оптимума. Анализ прост: значение дополнительной базисой переменной дает диапазон изменения, в котором соответствующая компонента Bi уменьшается (увеличивается в случае ограничения типа =>).

Решение остается допустимым и оптимальным в диапазоне Bi + q, где -Xs <= q <= +oo для ограничений типа <= -oo <= q <= Xs для ограничений типа => Здесь Xs - значение соответствующей дополнительной переменной.

Например рассмотрим ограничение-неравенство: 3X1 + 4X2 + 7X3 <= 100 Приведем его к равенству введя дополнительную переменную 3X1 + 4X2 + 7X3 + X4 = 100 Если в оптимальном решении X4 = 26 то оставшиеся переменные удовлетворяют неравенству: 3X1 + 4X2 + 7X3 <= 74 а также любому неравенству того же вида со значением правой части большим 74.

б) Небазисная дополнительная переменная

Если дополнительная переменная небазисная и равна нулю, то исходное ограничение-неравенство является активным в точке оптимума. На первый взгляд может показаться что так как это ограничение активное то отсутствует возможность изменения значения правой части такого ограничения, в частности возможность уменьшения значения Bi (для ограничений типа <=). Оказывается что изменяя вектор В мы меняем также вектор Xb и так как существует диапазон изменений в котором Xb неотрицателен, то решение остается еще и оптимальным в том смысле, что базис не меняется. (Заметим что при этом изменяется значение как Xb так и Р).

Рассмотрим ограничение:Ak1X1+Ak2X2 +...+Xs = Bk где Xs - дополнительная переменная. Пусть теперь правая часть станет равной Bk + q, тогда уравнение можно переписать так: 1.1) Ak1X1+Ak2X2 +...+(Xs-q) = Bk Так что (Xs - q) заменяет Xs Следовательно, если в оптимальном решении переменная Xs небазисная и равна нулю то мы имеем Xb = B - As*(-q) где As - столбец конечной таблицы соответствующий Xs.

Так как Xs должен оставаться неотрицательным то мы получаем соотношение: B - As*(-q) => 0 которое определяет диапазон изменения q:

   MAX   {Bi/-Ais} <= q <= MIN   {Bi/-Ais}
   i/Ais>0                  i/Ais<0
   Если нет ни одного Ais > 0  то q > -oo,
   а если нет ни одного Ais < 0 то q < +oo

Для ограничений типа => q меняет знак, так как вместо неравенства E AijXj => Bi мы можем рассматривать

-E AijXj <= -Bi
Поэтому в уравнении 1.1) вместо +(Xs-q) мы должны писать -(Xs+q).

Снова рассмотрим пример:

   Максимизировать  Р= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X
   При условиях    X1 = 3.2 -1.0X4 -0.5X3 -0.60X5
                   X2 = 1.5 +0.5X4 +1.0X3 -1.00X5
                   X6 = 5.6 -2.0X4 -0.5X3 -1.00X5

Пусть X4 - дополнительная переменная некоторого ограничения i (типа <=). Если компонену Bi изменить на величину q, мы получим:

       X1 = 3.2 - 1.0*(-q)
       X2 = 1.5 + 0.5*(-q)
       X6 = 5.6 - 2.0*(-q)
                    3.2          1.0
              то есть  B = 1.5    As = -0.5
                    5.6          2.0
       Тогда,
          X1 => 0 при 3.2 - 1.0*(-q) => 0, то есть q => 3.2/-1.0,
          X2 => 0 при 1.5 + 0.5*(-q) => 0, то еасть q <= 1.5/0.5,
          X6 => 0 при 5.6 - 2.0*(-q) => 0, то есть q => 5.6/-2.0
      Значит q может меняться в диапазоне:
     MAX {3.2/-1.0; 5.6/-2.0} <= q <= 1.5/0.5,
             то есть -2.8 <= q <= 3.0

ВЫРОЖДЕННОСТЬ

1. Вырожденность прямой задачи>

Вырожденное решение прямой задачи характеризуется тем, что его базисная компонента равна нулю. Вырожденность прямой задачи может часто проявляться через промежуточные (неоптимальные) вырожденные базисные решения. Так например не произойдет улучшения целевой функции от введения в базис переменной, для которой положительна соответствующая компонента вектор а Aq.

Возможен случай, когда прямая задача ЛП имеет вырожденное промежуточное но невырожденное оптимальное решение. Если оптимально решение прямой задачи вырождено, то двойственная задача имеет бесконечно много оптимальных решений.

2. Вырожденность двойственной задачи

С вырожденностью двойственной задачи мы сталкиваемся, когда относительная оценка, отвечающая небазисной переменной, равна нулю.

Это означает, что небазисная переменная может увеличиваться, не меняя при этом значения целевой функции. Если такая нулевая относительная оценка соответствует оптимальному решению, то

имеется множество оптимальных решений так как Р не меняется).

ЗамЗаметим, что мы получили вырожденное решение двойственной задачи, отвечающее границе диапазоа устойчивости коэффициента целевой функции, а также вырожденное решение прямой задачи соответствующее границе диапазона устойчивости компоненты вектора ограничений.