5. Математическая модель измерительной системы

Оптическая система КОС, выполненная по схеме “входной транспарант перед фурье-объективом”, состоит из ряда последовательно расположен-ных вдоль оптической оси узлов: источник когерентного излучения, входной транспарант, фурье-объектив, фоторегистратор спектра (рис.2).
В такой системе, для получения высококонтрастного и сфокусирован-ного изображения исследуемого сигнала, источником когерентного излу-чения является точечный источник, излучаемое поле которого описывается функцией:   (5.1), где А0-амплитуда световой волны источника;  - дельта-функция Дирака. Кроме того, в оптике принято считать источник точечным, если его размеры в десять и более раз меньше растояния до оптической системы, что обычно всегда имеет место на практике для КОС.
Тогда, распределение поля  в плоскости х1у1 согласно принципу Гюйгенса-Френеля, будет описываться выражением :
 (5.3),

 где - оператор преобразования Френеля ; СФ- комплексная постоянная, равная .

Если в плоскости х1у1 помещен пространственный транспарант с амплитудным коэфициентом пропускания , являюшийся записью исследуемого сигнала, то распределение поля за транспарантом может быть описано как
 (5.2).
Применив принцип Гюйгенса-Френеля (5.3), можно определить распре-деление светового поля в плоскости х2у2 перед фурье-объективом, а поле за ним - применив (5.2).
Таким образом, распределение поля в плоскости х3у3 анализа будет описываться :
 (5.4), где - оператор Френеля для преобразования поля на i-м участке свободного пространства толщиной li.
Рассмотрим последовательно распостранение когерентной световой волны в оптической системе КОС, представленной на рис. 2.
Подставив (5.1) в (5.3), определим распределение светового поля во входной плоскости х1у1 перед транспарантом  

, где  (5.5).
Выражение (5.5) получено с использованием фильтрующего свойства дельтафункции и описывает расходящуюся сферическую волну в плоскости х1у1 перед входным транспарантом в параксиальном приближении. Использование фильтрирующего свойства  -функции допустимо в силу пространственной инвариантности рассматриваемой параксиальной области оптической системы. Такое допущение обычно всегда имеет место на практике, поскольку для уменшения влияния аберраций оптической системы на качество фурьеобраза, используют лишь ее центральную часть - параксиальную область.
Определив распределение поля за входным транспарантом  c использованием (5.2), поле во входной плоскости фурьеобъектива, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно представить как
(5.6), где  - постоянный фазовый коэфициент Френеля; S1 -область интегрирования по аппертуре входного транспаранта.
Распределение поля в плоскости х2у2 за фурье-объективом, согласно (5.2) будет
 (5.7), а подставив (5.6) в (5.7) с учетом (5.3), распределение поля в плоскости х3у3 анализа можно представить в виде :

 (5.7),
где  (5.8).
Поскольку переменные х1, у1 и х2, у2 интегрирования, в полученном выражении (5.7), являются величинами взаимонезависимыми, то их можно поменять местами, а (5.7) примет вид:

 (5.9),
где  (5.10), а - функция зрачка фурьеобъектива, удовлетворяющая условиям (5.10) финитности в области .
Для анализа выражения (5.9), рассмотрим отдельно внутренний интеграл, который описывает суперпозицию светового поля по входной апертуре  фурье-объектива и группируя совместно одинаковые экспотенциальные сомножители, упростим его. Формальное увеличение пределов интегрирования по входной апертуре  фурье-объектива до бесконечности возможно, поскольку размеры входного транспаранта  всегда на много меньше аппертуры  фурье-объектива, а также чем требуется по условиям параксиальности Френеля и условию (5.10) финитности функции зрачка фурье-объектива. Поэтому дифракционное изображение сигнала  в плоскости х3у3 анализа ограничено не апертурой  фурье-объектива, а апертурой  входного транспаранта. Это влияние уменшается, чем ближе расположен входной транспарант к фурье-объективу, т.е. чем меньше растояние , что обычно всегда выполняется на практике. Учитывая это можно записать  в пределах области интегрирования


 (5.11).
Выражение (5.11) содержит два взаимонезависимых подобных интегра-ла  и , каждый из которых может быть вычислен с использованием табличного интеграла вида :
 (5.12). Применив (5.12) к (5.11), но предва-рительно обозначив через
,   и  (5.12), выражение (5.11) можно представить в виде :

 (5.13).
Подставив (5.13) в (5.9) получим


 (5.14).
Выражение (5.14) описывает пространственное распределение комп-лексных амплитуд светового поля в плоскости х3у3 спектрального анализа и содержит ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителя, по-ле в плоскости х3у3 является фурье-образом поля в плоскости х1у1 за входным транспарантом  с пространственными частотами  и , равными  , и  (5.15)
Подинтегральный квадратичный сомножитель в выражении (5.14) для распределения поля в плоскости х3у3 анализа
 (5.16),  при
   (5.17)
Решив уравнение (5.17) относительно  определим
  (5.18).
Полученное уравнение (5.18) представляет собой известное условие Гауса о фокусировке оптической системы, согласно
 (5.19)
Таким образом, только при условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в ней осуществляется спектральное преобразо-вание Фурье, формируемое в плоскости х3у3, над сигналом , поме-щенным во входной плоскости х1у1. Однако, фурье-образ сигнала содержит квадратичную модуляцию фазы волны из-за наличия фазового сомно-жителя, стоящего перед интегралом в выражении (5.14). Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при регистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме возникают дополнительные аберрации, значительно влияющие на его качество. Эта модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в случае дальнейших преобразований деталями оптической системы фурье-образа  сигнала . Однако, квадратичная модуляция фазы фурье-образа может быть устранена при соответствующем выборе геометри-ческих параметров оптической системы, т.е.
 (5.20) при  (5.21).
Решив уравнение (5.21) относительно  находим
 (5.22)  при =0, либо .
Таким образом, квадратическая фазовая модуляция фурье-образа устра-нима лишь в двух случаях:

• при размещении сигнального транспаранта в передней фокальной плоскости фурье-объектива, что полностью совпадает с полученными ранее результатами исследований, но лишь для КОС с плоской вол-ной во входной плоскости, т.е. при .
• при , т.е. плоскость х3у3 спектрального анализа должна совпа-дать с плоскостью х2у2 размещения фурье-объектива, что физически нереализуемо в оптической системе, согласно условию Гауса.

     Учитывая (5.16) и (5.20) выражение (5.14) можно представить в виде:
 (5.23),
откуда видно, что квадратичные фазовые искажения фурье-образа (5.14) сигнала устранимы не только при освещении входного транспаранта плос-кой, но и сферической волной при выполнении условий (5.18 ) и (5.22).
Выходной электрический сигнал ФИС представляет собой решение известной в оптике задачи о набегании светового пятна, распределение освещенности в котором описывается выражением:
 , на узкую щеле-вую диафрагму вдоль координаты х3. Наиболее общим методом решения подобных задач является вычисление интеграла свертки функции освещенности с функцией  пропускания полевой диафрагмы ФИС, равной:
 (5.24), где - ширина щели вдоль координаты х3, - высота щели вдоль координаты у3.
Распределение  комплексных  амплитуд  световой волны в плос-
кости х3у3 анализа КОС описывается выражением (5.23) и является прост-ранственно-частотным фурье-образом входного сигнала  т.е.
.
Из уравнений Максвелла для электромагнитной волны следует, что энергия преносимая волной, пропорциональна квадрату амплитуды напря-женности электромагнитного поля, т.е.
 (5.25), где К - постоянный коэфициент, зависящий от свойств среды, где распостраняется электромагнитная волна [14, 23]. Поэтому пространственно-частотный энергетический спектр  входного сигнала  пропорционален распределению освещенности  в плоскости спектрального анализа КОС, т.е.
(5.26), где ,
- взаимосвязь между пространственными х(у) и пространственно-частотными  координатами в плоскости спектрального анализа КОС;  комплексная постоянная, определяемая (5.8).
Тогда согласно [11, 12] выходной сигнал ФИС с безинерционным фотоприемником, воспринимающим весь световой поток, прошедший через полевую диафрагму, можно определить как
 (5.27),

где - интегральная чувствитель-ность фотоприемника; - положение центра полевой диафрагмы в фиксированный момент времени при измерении сечения спектра  вдоль координаты .
Так как в общем виде интеграл свертки (5.27) вычисляется аналитически лишь для простых элементарных функций, то при вычислении свертки сложных монотонно-гладких функций, значительно отличающихся по шири-не, допускают аппроксимацию результата более широкой функцией, что обеспечивает погрешность не более 6-10% в пределах более широкой функции [10, 17, 18].
Поэтому для повышения точности измерения спектра и упрощения вычисления интеграла (5.27), ширина полевой диафрагмы  выбрана равной 20 мкм, что в десятки раз меньше ширины максиумов функции .
Применительно к рассматриваемому случаю выражение (5.27) с учетом (2.16) и (5.24) может быть представлено в виде
(5.28).
Iieo?aiiia au?a?aiea (5.28) iienuaaao oi?io yeaeo?e?aneiai neaiaea ia auoiaa OEN i?e neaie?iaaiee yia?aaoe?aneiai niaeo?a i?ino?ainoaai-iie no?oeoo?u ЛЗ узкой щелевой диафрагмой. Из (5.28) видно, что форма выходного сигнала ФИС повторяет форму спектра с точностью до коэфи-циента пропорциональности, зависящего от размеров полевой диафрагмы ФИС и коэфициента - масштаба КОС. Поэтому, измеряя амплитудно-временные параметры выходного электрического сигнала ФИС соответст-вующей аппаратурой, можно реализовать амплитудный метод контроля величины среднего квадратического отклонения ширины щелей в прост-ранственной структурк ЛЗ.
При амплитудном методе контроля с помощью КОС величины среднего квадратического отклонения  ширины щелей в пространственной струк-туре ЛЗ необходимо на выходе ФИС измерять величину амплитуд отдельных максимумов ее энергетического спектра на частотых . Тогда, подставив  в (5.28) с учетом, что  и выполнив ряд алгеб-раических преобразований можно показать, что амплитула -го максимума спектра, измеряемого на выходе ФИС, будет равна
 (5.29), а использовав тож-дество (653.4) из [20], амплитуду -го максимума спектра представим в виде
                     (5.30).
Из формулы (5.30) видно, что действительно с увеличением порядкового номера  максимумов, амплитуда  их резко убывает.
Кроме того, с увеличением параметров  либо , амплитуда макси-мумов  спектра  убывает по обратнопропорциональной гиперболической
тангенциальной зависимости. Поскольку в результате статистических исследований было установлено, что  является практически величиной постоянной [1] по сравнению с диапазоном измерений , то целесообраз-но рассматривать функциональную зависимость амплитуд максимумов спектра от параметра , приняв  постоянным и равным 8 мкм.
Однако линейная зависимость амплитуд  максимумов спектра от освещенности  пространственной квазипериодической структуры ЛЗ приведет к значительным погрешностям амплитудного метода контроля лишь абсолютных значений амплитуд  максимумов спектра. Эти погреш-ности возникают из-за нестабильности выходной мощности излучения лазе-ра при температурных дрейфах его резонатора, которая достигает 20-30% от  [19]. Поэтому, используя относительные измерения путем опреде-ления величины отношения  амплитуд -го и -го максимумов спектра
 (5.31),
можно избавиться от влияния временных флуктуаций выходной мощности излучения лазера.
Полученное выражение (5.31) является уравнением амплитудного мето-да контроля величины СКО  ширины щелей в пространственной структуре ЛЗ. В работе [1] показано, что для  и  функция  являет-ся монотонно убывающей по мере увеличения . Однако крутизна измене-ния функции, характеризующая чувствительность метода, функционально зависит от соотношения номеров  и , используемых для измерения максимумов. Поэтому для повышения чувствительности амплитудного мето-да контроля по алгоритму, описанному уравнением (5.31), необходима его оптимизация, т.е. выбор таких номеров  и  максимумов, при которых достигается максимальная чувствительность функции  к изменению параметра . Согласно теории чувствительности [21, 22] - чувствитель-ность  функции  к изменению СКО  выражается ее первой частной производной по параметру , т.е.

 

(5.32), а определив производные (5.30), которые равны
 (5.33),
 

(5.34), и подставив (5.25), (5.33) и (5.34) в (5.32), а также выполнив ряд алгебраических преобразований, получим:
 (5.35).
Анализ этого выражения выполнен в работе [1]. Получены следующие результаты:

• чувствительность  амплитудного метода контроля величины СКО  при  повышается при выборе -го максимума спект-ра как можно высшего порядка;
• с увеличением порядкового номера , а также параметра  амплитуды максимумов резко уменшаются.

     Это может привести к значительным техническим сложностям измере-ний на фоне шумов, а также к снижению чувствительности измерительной системы.
Поскольку шумы на выходе ФИС и статические характеристики квазипе-риодической структуры ЛЗ являются взаимонезависимыми величинами, то выходной сигнал ФИС представляет собой аддитивную смесь шумов с полезным сигналом. Поэтому минимальное значение амплитуды -го макси-
мума энергетического спектра, которое может быть аппаратурно зарегист-рировано по выходному сигналу ФИС, достигается при  и должно быть в  раз больше величины среднего квадратического напряжения  шумов ее приемника, т.е.
(5.36), где - требуемый коэфициент отношения сигнал/шум выходного сигнала фотоприемника ФИС. Тогда подставив (5.36) в уравнение (5.30) аиплитуд получим:
 или
 (5.37), откуда имеем
 (5.38).
Полученное выражение (5.38) позволяет определить максимально допустимую величину СКО , доступную для контроля амплитудным ме-тодом, в зависимости от номеров используемых максимумов спектра и шу-мов ФИС. Из выражения (5.38) следует, что увеличить допустимое значение  можно путем уменшения шумов  ФИС, либо увеличения освещен-ности  квазипериодической структуры ЛЗ. Увеличение  за счет по-вышения  достигается благодаря работе ФИС по пороговому сигналу лишь от одного, т.е. -го максимума. При этом амплитуда другого, т.е. -го максимума, не является пороговой для ФИС, поскольку в (5.31) она всегда больше амплитуды -го максимума.