3. Математическая модель квазипериодической структуры СВЧ линий замедления

При статистических исследованиях геометрических размеров элементов пространственной структуры ЛЗ установлено, что из-за различных технологических погрешностей, эти размеры являются величинами случайными с нормальным законом распределения. Таким образом, пространственная структура ЛЗ не является строго переодической, а поэтому ее энергетический спектр будет отличаться от энергетического спектра периодических структур.
Из скалярной теории [7, 8] известно, что оптической системой КОС в плоскости спектрального анализа формируется дифракционное изображение пространственного объекта, помещенного во входной плоскости. Математические зависимости, описывающие форму дифракционного изоб-ражения, могут быть определены лишь путем решения задачи о дифракции когерентной световой волны на пространственной структуре объекта. Однако для пространственной структуры ЛЗ с флуктуациями периодичности, решение такой задачи чисто оптическими методами не может быть получено из-за значительной математической сложности ее. Кроме, того эти методы применимы лишь для решения дифракционных задач на регулярных детерминированных пространственных структурах и неприменимы для случайных пространственных сигналов.
Поэтому в настоящее время такие задачи для случайных оптических сигналов решают в оптике с применением методов статистической радио-физики в силу единства физических процессов и математических методов анализа прохождения электрических сигналов в электрических цепях и распостранения пространственных сигналов в оптических системах. Это позволяет определить распределение освещенности в дифракционном изображении квазипериодической пространственной структуры ЛЗ (т.е. ее энергетический спектр) путем вычисления усредненного квадрата преобра-зования Фурье над ее амплитудным коэфициентом пропускания.

Пространственная штриховая структура ЛЗ является квазипериодическим сигналом, в технике ОСОИ, и состоит из взаимонезависимых прозрачных щелей и непрозрачных стенок. К тому же период пространственной структуры ЛЗ также является случайной величиной, так как он равен сумме двух взаимонезависимых величин. Таким образом, пространственная структура ЛЗ относится к классу случайных квазипериодических сигналов.
Поскольку освещенность пространственной структуры ЛЗ, помещенной во входной плоскости КОС, равномерна по полю, то ее амплитудный коэфициент попускания  может быть описан единично-нулевой функцией. Поэтому, в пределах ширины  прозрачных щелей функция , а в пределах ширины  непрозрачных стенок, соответственно, 0. Кроме того, ширина щелей  и стенок  являются величинами взаимонезависимыми, поскольку при изгибах стенок толщина  их не изменяется, а изменяется лишь ширина  щелей. Взаимонезависимость этих величин также возникает и потому, что зубья в верхней и нижней гребенках наре-заются раздельно на разных заготовках, после спаивания которых образуются между зубьями щели, а ширина их уже не зависит от толщины зубьев, что подтверждается также малостью коэффициента корреляции  для размеров  и .
Фрагмент квазипериодической пространственной структуры ЛЗ и соответствующая ему функция пропускания  в сечении у=0 показаны на рис.4 (а и б), где Рх - период пространственной структуры, равный .
Поскольку ширина  щелей и  стенок являются величинами случайными и взаимонезависимыми, то и период  пространственной структуры ЛЗ будет также величиной случайной. Период  является суммой двух случайных величин с нормальными законами распределения, следовательно, закон распределения  также будет нормальным.
Таким образом, амплитудный коэффициент пропускания  пространственной квазипериодической структуры ЛЗ может быть описан функцией вида
 (2.4), где  - порядковый номер щели, - пространственная координата положения начала щели, - высота перекрытия зубьев в квазипериодической структуре ЛЗ.
Из выражения (2.4) видно, что переменные х и у функции  взаимонезависимы, а поэтому эта функция является функцией с разделяемыми переменными, и может быть представлена в виде произведения функций  и , т.е.  (2.5).
В выражении (2.5) функция  является финитной в пределах высоты  перекрытия зубьев верхней и нижней гребенок пространственной структуры ЛЗ вдоль координаты х, как показано на рис.4б.

Для оптической системы КОС пространственная структура ЛЗ является квазипериодическим сигналом. В свою очередь, основными характеристи-ками такого сигнала, т.е. пространственной структуры ЛЗ, являются:

  • средние размеры  и  ширины стенок и щелей, а также средние квадратические отклонения СКО  и  от них соответственно;
  • законы распределения  и  размеров стенок и щелей;
  • спектральная и корреляционная функции.

     Для описания спектральных и корреляционных функций случайных сигналов часто используются характеристические функции. Характеристи-ческая функция  случайной величины  является фурьеобразом ее закона распределения , т.е. , где - простран-ственная частота, измеряемая в [мм-1], поскольку в рассматриваемом случае координата  является пространственной и имеет размерность [мм].
Тогда с учетом получим:
, а вводя замену переменных вида
. Этот интеграл в новых пределах интегрирования от  до  можно представить через элементарные функции следующим выражением
 (2.6) , и аналогично  (2.7).
Полученные выражения (2.6) и (2.7) являются характеристическими функциями квазипериодической пространственной структуры ЛЗ с нормальным законом распределения ширины  стенок и  щелей.
Как в оптических, так и в электронных устройствах спектрального анализа сигналов, существует возможность получения как амплитудного, так и энергетического их спектров. Однако в теории спектрального анализа пространственных сигналов известно, что при использовании квадратических фотодетекторов для регистрации параметров дифракционного изображения, формируемого оптической системой КОС, автоматически на ее выходе формируется энергетический спектр исследуемого сигнала. Параметры такого спектра могут быть измерены соответствующими контрольно-измерительными приборами, а форма его определена с применением методов статистической радиооптики путем интегрального преобразования Винера-Хинчина, либо на основе теоремы Хилли.
Поэтому используя аналогию математических методов исследования спектральных характеристик пространственных и временных сигналов, распределение комплексных амплитуд спектра пропускания  в дифракционном изображении пространственной квазипериодической структуры ЛЗ, можно определить как  , или с учетом (2.5) .
Полученное выражение описывает амплитудный спектр функции  пропускания квазипериодической пространственной структуры ЛЗ. Энергетический спектр  этой функции может быть определен с помощью теоремы Хилли [3.11] как , или же
.
Однако в работах [16, 17] показано, что для квазипериодического сигнала, описываемого единично-нулевой функцией вида (2.4)
 (2.8), где - дискретная составляющая спектра на нулевой частоте, которая для квазипериодической структуры ЛЗ будет равна
 (2.9) , а - непрерывная составляющая спектра, равная:  (2.10), что справедливо для  и  не равных 1, согласно [3.35].
В выражениях (2.9) и (2.10) параметр  является пространственной частотой энергетического спектра исследуемого сигнала, величина которой определяется коэфициентом  масштаба и зависит от схемы построения и геометрических размеров оптической системы КОС.
Для определения формы энергетического спектра пространственной структуры ЛЗ рассмотрим вещественную часть комплексной дроби в выражении (2.10), обозначив ее через В, т.е.
 (2.11). Подставив в (2.11) выражения (2.6) и (2.7) характеристических функций  и  получим:
 (2.12).
Выражение (2.12) представляет собой комплексную дробь вида , вещественная часть которой равна  (2.13).
Тогда, выполнив алгебраические преобразования над (2.12) с использованием (2.13), вещественную часть В выражения (2.12) можно представить в виде :
 (2.14).
Подставив (2.14) в (2.10), получим уравнение непрерывной составляющей энергетического спектра квазипериодической пространственной струк-туры ЛЗ:
(2.15), а энергетический спектр пространственной структуры ЛЗ с нормальным законом распределения ширины щелей и стенок может быть представлен следующим выражением:

 (2.16).
Наибольший интерес для практической реализации в оптических системах КОС для автоматизации контроля статистических характеристик пространственной структуры ЛЗ представляет второе слагаемое выражения (2.16), содержащее функциональную взаимосвязь этих характеристик. Пос-кольку это слагаемое содержит гармонические функции, что указывает на наличие частот  экстремальных амплитуд спектра. Величины экстремаль-ных амплитуд спектра и их частоты  полностью определяются статистическими характеристиками геометрических размеров элементов простран-ственной структуры ЛЗ.
Первое слагаемое в (2.16) описывает амплитуду спектра на нулевой частоте, а в оптической системе КОС - интенсивность недифрагированного светового потока, который фокусируется оптической системой на его оси в плоскости спектрального анализа.