Календарь
Ноябрь
Пн   6 13 20 27
Вт   7 14 21 28
Ср 1 8 15 22 29
Чт 2 9 16 23 30
Пт 3 10 17 24  
Сб 4 11 18 25  
Вс 5 12 19 26  

Сфера и шар



Скачать: Сфера и шар

Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.

   
Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.
Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

Уравнение сферы.

M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.
след. MC=  т.к. MC=R, то

если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид :

Взаимное расположение сферы и плоскости.

  d - расстояние от центра сферы до плоскости.
след. C(0;0;d), поэтому  сфера имеет уравнение  
плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0
Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
след. возможны 3 решения системы :

   1)   d<R  ,   d^2<R^2   ,   x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0
   уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность C(0;0;0)    и     r^2=R^2 - d^2

   2)  d=R   ,   x^2 + y^2 =0  ,  x=y=0  след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)

   3) d>R  ,  d^2>R^2     R^2 - d^2 < 0
         x^2 + y^2 >=0  ,    x^2+y^2=R^2 - d^2  не имеет решений

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема:   Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.
ч.т.д.
Теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Доказательство:
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.
ч.т.д.
Площадь сферы:
Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник  называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.
Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать  n   таким образом, чтобы  наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R : 
S=4ПR^2



  © Реферат плюс


Поиск

  © REFERATPLUS.RU  

Яндекс.Метрика