 |
 |
 |
|
Шар и сфераОглавление реферата 1. Необходимо подчеркнуть то, что вступление 1. Возможно и то, что вступлениеВ протяжении почти всех веков население земли не переставало пополнять свои научные познания в, как всем известно, той либо другой области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со почти всеми из научных дисциплин. Очень хочется подчеркнуть то, что к таковым дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, также химия и биология. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что в крайних стоит неувязка исследования микромира, который представляет собой, как люди привыкли выражаться, сложнейшую комбинацию разных частиц в пространстве относительно друг дружку. Очень хочется подчеркнуть то, что в архитектуре повсевременно, в конце концов, употребляются аксиомы и следствия из стереометрии. Множество учёных геометров, ну и обычных людей, интересовались, как всем известно, таковой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей заглавие сфера. Умопомрачительно, но шар является, как заведено выражаться, единственным телом, владеющим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму остальных сравниваемых тел, таковых как куб, призма либо остальные, как мы привыкли говорить, различные многогранники. И действительно, с шарами мы имеем дело раз в день. Например, практически каждый человек пользуется шариковый, как заведено выражаться, ручкой в конец стержня которой вмонтирован железный шар, крутящийся под действием сил трения меж ним и, как мы выражаемся, бумагой и в процессе поворота на собственной поверхности шар «выносит» еще одну порцию чернил. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что в, как все знают, авто индустрии наконец-то делаются шаровые опоры, являющиеся чрезвычайно принципиальной деталью в каре и обеспечивающей верный поворот колёс и устойчивость машинки на дороге. И действительно, элементы машин, самолётов, ракет, байков, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся, как все знают, неизменным действиям воды либо воздуха, в большей степени имеют какие или сферические поверхности, именуемые обтекателями. В своём реферате я отдал понятие шара и сферы, привёл некие характеристики этих тел. И даже не надо и говорить о том, что был рассмотрен принцип Кавальери, позволяющий наиболее просто так сказать вычислять объёмы тел. Возможно и то, что при помощи принципа Кавальери мною так сказать приведено подтверждение формулы объёма шара. Как бы это было не странно, но по каждому вопросцу я постарался привести несколько, как большинство из нас привыкло говорить, показательных задач. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что в реферате имеются, как всем известно, некие исторические сведения, так же по каждой из рассмотренных тем. Несомненно, стоит упомянуть то, что при написании данной работы, на каждом этапе разработки, одной из основных моих задач, вообщем то, являлось предание определённого уровня читабельности тексту, так как анализ, как мы с вами постоянно говорим, чужой работы – дело нелёгкое и ответственное. Основными шагами работы над данной, как мы с вами постоянно говорим, темой явились: выборка соответственной литературы, исследование подходящего для работы материала, систематизация материала (план), применение к определенным задачкам, а также практическое применение. 2. Возможно и то, что шар и сфера.2.1. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что шар и как бы шаровая поверхность.
Шаровой либо сферической поверхностью именуется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на данное расстояние R (радиус). И даже не надо и говорить о том, что все место по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки как бы самой поверхности) и внешнюю. Необходимо отметить то, что 1-ая из этих областей называется шаром. Необходимо отметить то, что итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от данной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). И действительно, шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего места. Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг, как люди привыкли выражаться, 1-го из поперечников. Разглядим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоскости Я. Возможно и то, что будем вращать ее вокруг поперечника АВ. Мало кто знает то, что тогда, как мы с вами постоянно говорим, любая из точек окружности, к примеру М, в свою очередь, вообщем то, обрисует при вращении окружность, имеющую своим центром точку М0—проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что плоскость данной окружности перпендикулярна к оси вращения. Всем известно о том, что радиус ОМ, ведущий из центра, как мы с вами постоянно говорим, начальной окружности в точку М, будет, стало быть, сохранять свою величину во всегда вращения, и, как большая часть из нас постоянно говорит, поэтому точка М всегда также будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Всем известно о том, что шаровая поверхность быть может, мягко говоря, получена вращением окружности вокруг хоть какого из ее поперечников. Сам шар как тело выходит вращением круга; ясно, что для получения всего шара довольно вращать полукруг около ограничивающего его поперечника. 2.2. Все знают то, что взаимное размещение шара и плоскости.
Исследуем вопросец о
взаимном расположении шара и плоскости. Не для кого не секрет то, что для этого, имея некий шар и
плоскость Вправду, ежели плоскость как раз имеет с поверхностью шара единственную, как всем известно, общую течку, то эта точка наиблежайшая к центру шара по сопоставлению с, как мы с вами постоянно говорим, остальными точками плоскости и поэтому, в конце концов, служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость. Ежели, в конце концов, основание перпендикуляра
М0 окажется внутри шара (рис. 4), то плоскость будет, в конце концов, пересекать поверхность
шара, потому что часть ее, наконец, окажется снутри шара, а часть — вне. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что исследуем линию
пересечения таковой плоскости с как бы шаровой поверхностью. Необходимо подчеркнуть то, что пусть расстояние ее от
центра шара равно d, d<R. Необходимо отметить то, что тогда оказывается, что линия пересечения плоскости
с поверхностью шара, мягко говоря, является окружностью с центром в точке М0 и радиусом,
равным Итак, ежели длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то: при d>R плоскость не пересекает шара; при d = R плоскость, наконец, касается шара в одной точке, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости; при d<R плоскость, стало быть, пересекает шар по окружности, центром которой, наконец, служит основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, а радиус равен А именно, плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по окружности очень возможного радиуса, равного радиусу шара R. Необходимо отметить то, что такие сечения шара плоскостями, проходящими через его центр, именуются большими кругами шара. Для наглядности, как многие выражаются, вышеизложенного материала я предлагаю наконец-то решить две маленькие задачки. Задачка 1. Надо сказать то, что два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Возможно и то, что отыскать расстояние меж секущими плоскостями. Решение. Надо сказать то, что находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:
в зависимости от, как мы привыкли говорить, того, лежит ли центр шара меж плоскостями либо так сказать нет, получаем два, как люди привыкли выражаться, разных ответа к задачке:
Задачка 2. Мало кто знает то, что расстояние меж центрами 2-ух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. И действительно, отыскать радиус окружности, по которой они пересекаются.
Решение. Мало кто знает то, что разыскиваемый радиус как раз служит, как все знают, высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Само-собой разумеется, площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и разыскиваемый радиус равен r=2S/d. Необходимо отметить то, что ровная линия также может, мягко говоря, занимать по отношению к шару три значительно, как большая часть из нас постоянно говорит, разных положения. Все давно знают то, что конкретно, она может пересечь поверхность шара в 2-ух разных точках, не как бы пересекать ее либо иметь с ней одну общую точку. Не для кого не секрет то, что в крайнем случае она так сказать будет называться касательной к шару. 2.3. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что принцип Кавальери. Как бы это было не странно, но нахождение объёма шара при помощи принципа Кавальери.В Европе XVII-ХVIII веков и, сначала, в экономически, как мы выражаемся, развитых государствах, укреплялся новейший публичный, как заведено выражаться, строй - капитализм. Все знают то, что составной частью этого процесса была техно революция - переход от мануфактурной индустрии к, как большая часть из нас постоянно говорит, фабричной и, как следствие, серия изобретений, посреди которых - создание, как все говорят, паровой машинки. Необходимо подчеркнуть то, что стремительное развитие арифметики в эту эру было наконец-то обосновано также усовершенствованием машин для компаний, изобретением, как мы выражаемся, огнестрельного орудия и книгопечатания, постройкой судов для, как всем известно, океанского плавания. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что появилась необходимость теоретического и научного исследования движения, конфигурации вообщем. Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Возможно и то, что коперника и И. Кеплера, дозволили, как многие выражаются, заного посмотреть на место человека во Вселенной и его умение, как заведено выражаться, оптимальным образом, стало быть, разъяснить астрономические явления. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что законы небесной механики дали возможность так сказать дополнить законы Земли. И. Не для кого не секрет то, что кеплер фактически всю свою жизнь предназначил исследованию, развитию и пропаганде, как многие выражаются, гелиоцентрической системы Коперника. Как бы это было не странно, но анализируя большой материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения так сказать планет, носящие его имя, посреди которых закон, связанный с площадью сектора. Задачка вычисления секториальных площадей требовала умения воспользоваться нескончаемо, как заведено, малыми величинами. Все знают то, что этих познаний недоставало и для решения остальных задач, как люди привыкли выражаться, практического нрава. Как бы это было не странно, но круг, в представлении Кеплера, состоял из нескончаемо огромного числа треугольников с общей, как мы привыкли говорить, вершиной в центре, а шар - из нескончаемо, как мы привыкли говорить, огромного числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. И действительно, книжка ученого «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) произвела огромное воспоминание на читателей, потому что в ней был описан доступный способ определения размера 93 разных тел вращения (бочек). И даже не надо и говорить о том, что каждому из их он отдал оригинальное заглавие: лимон, груша, чалма и т. п. Необходимо отметить то, что кеплер подменял неизвестный размер известным методом деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из их, как большая часть из нас постоянно говорит, новейшего тела (может быть, методом деформации), размер которого можно отыскать. И действительно, подтверждения были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Очень хочется подчеркнуть то, что как лицезреем, Кеплер получил новейший итог очень обычным приемом. «Стереометрия, как все знают, винных бочек» - 1-ая работа тех пор, вводящая в геометрию нескончаемо как бы малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во внедрении к данной книжке, поводом и целью написания труда сначало явился личный и практический вопросец о измерении размера, как многие выражаются, винных бочек при помощи, как мы с вами постоянно говорим, 1-го промера их поперечной длины. Вообразите себе один факт о том, что энтузиазм математиков концентрировался, как все говорят, основным образом на общих принципах определения размеров тел вращения при помощи нескончаемо малых величин. Посреди таковых математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Само-собой разумеется, он занимал кафедру арифметики в Болонском институте. В переписке с астрологом и математиком Г. Несомненно, стоит упомянуть то, что галилеем они обсуждали, как мы с вами постоянно говорим, различные механические и математические трудности, и а именно способ «неделимых». Галилей также собирался, но так не написал книжку о этом способе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книжка «Геометрия, изложенная новеньким методом с помощью неделимых частей, как мы привыкли говорить, непрерывных величин». Надо сказать то, что при вычислении площадей многоугольников так сказать бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, к примеру, разрезать на части и составлять, как все говорят, новейшие (так именуемые, как заведено, равносоставленные фигуры). Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Мало кто знает то, что можно ли, как большинство из нас привыкло говорить, аналогичным образом, вообщем то, преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их для себя состоящими из нескончаемо тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» либо «нитей» и утверждает, что площадь не, в конце концов, изменяется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Вообразите себе один факт о том, что по другому, принцип Кавальери, в конце концов, состоит в том, что ежели пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных как бы данной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. Вообразите себе один факт о том, что а именно, ежели у 2-ух фигур эти длины так сказать совпадают, то они равновелики. Возможно и то, что серьезного обоснования собственного принципа Кавальери не отдал, но разглядел его, как всем известно, бессчетные внедрения. К примеру, на базе этого принципа просто как бы выходит равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых как бы умопомрачительных применений принципа Кавальери принадлежит, как большинство из нас привыкло говорить, французскому арифметику Ж. Не для кого не секрет то, что робервалю (1602-1675), который отыскал площадь сектора, ограниченного одной, как заведено выражаться, аркой циклоиды. Еще больше эффективен принцип Кавальери при нахождении размеров тел. Возможно и то, что он состоит в том, что размер тела, мягко говоря, определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными, как большинство из нас привыкло говорить, некой данной. Но интегральное исчисление содержит общие способы для вычисления площадей и размеров, при этом там, где применение принципа Кавальери требовало необычных построений, к успеху приводят, как все знают, обычные вычисления, и равномерно принцип Кавальери отошел в область истории. Необходимо подчеркнуть то, что но так как по принципу Кавальери просто как бы рассчитываются все «школьные» объемы и площади, не один раз предлагалось, в конце концов, принять принцип Кавальери в школьной геометрии за, как все знают, теорему. Видный русский ученый, историк арифметики, доктор Д. Мало кто знает то, что д. Мордухай-Болтовский (1876—1952), которому, вообщем то, принадлежит самый совершенный российский перевод «Начал» Евклида с обстоятельными комментами, отдал увлекательный вывод формулы размера шара на базе принципа Кавальери. Вот это доказательство.
Поместим меж 2-мя, как всем известно, параллельными плоскостями полусферу АВС и цилиндр A'B'C'D' (рис. 6) с основанием, как большинство из нас привыкло говорить, такого же радиуса R, что и шар, и с, как многие думают, высотой, равной радиусу, с входящим в него конусом C'D'O', который, в конце концов, имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а вершиной — центр нижнего основания. На основании принципа Кавальери
мы вправе сделать заключение, что размер шара равен размеру тела, получаемого
вырезыванием конуса из цилиндра. Всем известно о том, что по правде, просто как бы созидать, что круг ab,
приобретенный в сечении сферы плоскостью
и, следовательно, площадь сечения ab равна
с иной стороны, площадь круга а'b'
а потому что, разумеется, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'
Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна
Замечая дальше, что размер цилиндра равен
2.4. Необходимо отметить то, что интегральное исчисление. Всем известно о том, что понятие интегралаМы с вами познакомились с принципом Кавальери, который достаточно близок к другому способу нахождения объёмов тел – способу интегрирования. Необходимо подчеркнуть то, что этот способ основывается, как уже можно было, стало быть, додуматься, на интегральном исчислении. Интегральное исчисление появилось из потребности сделать общий способ разыскания площадей, размеров и центров тяжести. В зародышевой форме таковой способ применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и остальных, как большая часть из нас постоянно говорит, ученых. Необходимо подчеркнуть то, что в 1659 г. Само-собой разумеется, барроу установил связь меж задачей о разыскании площади и задачей о разыскании, как заведено, касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от, как многие думают, упомянутых личных геометрических задач. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что тем была наконец-то установлена связь меж интегральным и, как большинство из нас привыкло говорить, дифференциальным исчислением. Эта связь была применена Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Вообразите себе один факт о том, что собственного сегодняшнего состояния способы интегрирования в основном достигли в работах Л. Возможно и то, что эйлера. Мало кто знает то, что труды М. Возможно и то, что в. Остроградского и П. Необходимо отметить то, что л. Все давно знают то, что чебышева завершили развитие этих способов. С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, потому что для рассмотрения, как мы с вами постоянно говорим, такового вопросца, как объём тела, не только лишь шара либо сферы, чрезвычайно нередко употребляется интеграл.
Понятие о интеграле. Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением
и нужно отыскать площадь «криволинейной трапеции» aABb. Разделим отрезок ab
на n частей
Ежели ввести обозначения
то формула 1 имеет вид
Разыскиваемая площадь есть предел суммы (3) при нескончаемо большём n. Необходимо отметить то, что лейбниц ввел для этого предела обозначение
в каком Выражение
Тут очевидно указаны изначальное и конечное значения x. Вообразите себе один факт о том, что сейчас понятно, что интеграл, наконец, употребляется для того, чтоб высвободить нас от неких массивных вычислений (иногда, как в данном примере, очень и очень одинаковых, также требующих большого внимания, т.к. даже мельчайшая некорректность, стало быть, может повлечь за собой, как все говорят, значительные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду остальных обстоятельств, углубляться в которые на данный момент нет никакого смысла. 2.5. Само-собой разумеется, вычисление объёмов тел при помощи интегралаРазглядим метод вычисления размеров тел, основанный на понятии интеграла, которое понятно из курса алгебры и начал анализа.
Пусть тело Т,
размер которого необходимо вычислить, заключено меж 2-мя как бы параллельными плоскостями
Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и представим,
что S(х) — непрерывная функция на числовом отрезке [а; b]. Не для кого не секрет то, что разобьем числовой
отрезок [а;b] на п, как люди привыкли выражаться, равных отрезков точками
Приближенное значение сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной
функции S(х) на числовом отрезке [а;b], потому Таковым образом, мы получили формулу для вычисления размера тела при помощи интеграла:
Назовем ее, как люди привыкли выражаться, основной формулой для вычисления размеров тел. 2.6. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что объём шараОпосля настолько долгих подготовок, мы, основываясь на теоретических познаниях изложенных выше, можем приступить к подтверждению аксиомы о вычислении объёма шара при помощи определённого интеграла. Аксиома. Необходимо отметить то, что объём шара радиуса R равен
Подтверждение. Разглядим шар радиуса R с центром в точке О и выберем, стало быть, ось Ох, как большинство из нас привыкло говорить, произвольным образом (рис. 10). Обратите внимание на то, что сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М данной оси, является кругом с центром в точке М. И действительно, обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Вообразите себе один факт о том, что из как бы прямоугольного треугольника ОМС находим:
Потому что
Заметим, что эта, вообщем то, формула верна для, как большинство из нас привыкло говорить, хоть какого положения точки М
на поперечнике АВ, т. е. Обратите внимание на то, что для всех х, удовлетворяющих условию
Аксиома подтверждена. 2.7. Не для кого не секрет то, что шаровой сектор. Несомненно, стоит упомянуть то, что объём шарового сектора
Шаровым сектором именуется
часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Очень хочется подчеркнуть то, что всякая плоскость,
пересекающая шар, разбивает его на два сектора. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что размер шарового сектора
находится с помощью тех же рассуждений из рис. 11, стоит только веять не все
тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной
основанию. И действительно, разглядим, к примеру, шаровой сектор, лежащий выше секущей
плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на
расстоянии
Раскрывая скобки и, как мы с вами постоянно говорим, упрощая выражение, приведем его к виду
Эта, стало быть, формула выведена для сектора, стрелка которого не
превосходит радиуса шара. Она как раз остается верна и для сектора c хоть какой, как большинство из нас привыкло говорить, стрелкой
Заменим тут h через 2R-h1:
Раскрывая скобки и производя упрощения, получим
т.е. такую же формулу, что и ранее. Увлекателен вывод формулы объёма шарового сектора при помощи определённого интеграла.
Ежели радиус шара равен R, а высота сектора равна h ( на рисунке 12 h=AB), то V шарового сектора рассчитывается по формуле
Вправду,
проведём как раз ось Ox перпендикулярно к плоскости
Видите ли, вычисление объёмов тел при помощи интеграла даёт, как большая часть из нас постоянно говорит, большой выигрыш во времени. 2.8. Все давно знают то, что шаровой, как мы выражаемся, слой. Как бы это было не странно, но объём шарового слоя.
Шаровым слоем именуется часть шара, заключённая меж 2-мя, как все говорят, параллельными секущими плоскостями(рис. 13). Мало кто знает то, что объём, как заведено выражаться, шарового слоя можно отыскать как разность объёмов 2-ух шаровых частей, и запоминать как бы отдельную формулу для его вычисления нет надобности. 2.9. Надо сказать то, что шаровой сектор. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что объём, как мы привыкли говорить, шарового сектора.Разглядим конус вращения с, как мы с вами постоянно говорим, вершиной в центре шара (рис. 14). Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что часть шара, лежащая снутри такового конуса, именуется шаровым сектором. Шаровой сектор, мягко говоря, разлагается на два тела: шаровой сектор высоты h и конус высоты R-h. Надо сказать то, что шаровая поверхность, мягко говоря, пересекается с конусом по окружности. Надо сказать то, что ее радиус равен
Плоскость данной окружности и разбивает сектор на две, как все знают, указанные части. И действительно, для объёма сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объёмы сектора и конуса:
и формула для объёма сектора так сказать воспримет вид
Предлагается, вообщем то, решить пару увлекательных задач на изложенный выше материал. Задачка 1. Всем известно о том, что отыскать объём сектора, отсекаемого от шара радиуса R гранью, как мы выражаемся, вписанного в шар куба (при её продолжении).
Решение. Вообразите себе один факт о том, что диагональ
куба, вписанного в шар, является поперечником шара. Всем известно о том, что отсюда имеем для ребра куба
и по формуле для объёма сектора находим
Ответ: Vсегм= Задачка 2. Не для кого не секрет то, что отыскать размер шара, вписанного в, как все знают, правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным а (рис. 16).
Решение. Само-собой разумеется, в данной,
как и в остальных, как мы привыкли говорить, подобных задачках, полезно, вообщем то, применять общее замечание,
относящееся к вычислению радиуса шара, вписанного в выпуклый многогранник (т.
е. касающегося каждой из граней). И даже не надо и говорить о том, что представим для себя, что в центре шара мы
поместим вершину ряда пирамид, основаниями которых будут грани многогранника.
Радиус шара, стало быть, будет служить высотой, как все знают, каждой из этих пирамид. Необходимо подчеркнуть то, что тогда размер
многогранника V можно вычислить как сумму размеров, как все знают, указанных пирамид; размер как бы каждой
из их будет равен, как мы выражаемся, одной трети произведения ее высоты (т. е. радиуса вписанного
в многогранник шара) на площадь ее основания (т. е. на площадь соответственной
грани многогранника). Все давно знают то, что сумма размеров пирамид, в конце концов, будет равна, как заведено выражаться, одной трети произведения
радиуса вписанного шара на, как большинство из нас привыкло говорить, полную поверхность многогранника:
площадь одной из боковых граней
полная площадь поверхности пирамиды
Высота пирамиды MM0, как наконец-то катет треугольника MM0K, равна
Объём пирамиды
Для радиуса вписанного шара находим
Ответ: 2.10. Несомненно, стоит упомянуть то, что площадь поверхности шара
Тут даётся чрезвычайно
обычный, хотя не совершенно серьезный вывод формулы для площади сферической
поверхности; по собственной идее он чрезвычайно близок к способам интегрального исчисления.
Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Все знают то, что выделим на его поверхности какую-либо
малую область (рис. 17) и разглядим пирамиду либо конус с, как большая часть из нас постоянно говорит, вершиной в центре
шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы только условно говорим
о конусе либо пирамиде, потому что основание не плоское, а
сферическое. Мало кто знает то, что но при, как мы с вами постоянно говорим, малых размерах основания по сопоставлению с радиусом шара оно
будет очень не достаточно различаться от плоского (так, на пример, при измерении не
чрезвычайно огромного, как многие выражаются, земляного участка пренебрегают тем, что он как бы лежит не на
плоскости, а на сфере). Необходимо отметить то, что тогда, обозначая через
Ежели сейчас всю поверхность шара так сказать разложить на чрезвычайно огромное
число N таковых малых областей
где крайняя сумма равна полной поверхности шара:
Итак, размер шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. И даже не надо и говорить о том, что отсюда для площади поверхности имеем формулу
Крайний итог наконец-то формулируется так: Площадь поверхности шара равна, как мы выражаемся, учетверенной площади его огромного круга. 2.11. Необходимо подчеркнуть то, что площадь поверхности сектора шараПриведенный вывод подходящ и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду лишь основание, т. е. Все давно знают то, что сферическую поверхность, либо «шапочки»; см. рис. 14). Очень хочется подчеркнуть то, что и в данном случае размер сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его, как заведено, сферического основания:
откуда находим для площади шапочки формулу
2.12. Само-собой разумеется, площадь поверхности, как мы выражаемся, шарового поясаШаровым поясом (см. рис. 13) именуют, как всем известно, сферическую поверхность шарового слоя. И даже не надо и говорить о том, что чтоб как бы вычислить площадь поверхности, как все знают, шарового пояса, находим разность поверхностей 2-ух сферических шапочек:
либо
где h—высота слоя. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара, вообщем то, зависит лишь от высоты соответственного слоя, но не от его положения на шаре. Как и при исследовании предшествующего материала, я желаю показать одну задачку на эту тему.
Задачка. Не для кого не секрет то, что боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Всем известно о том, что отыскать высоту конуса, ежели радиус шара равен Решение. И даже не надо и говорить о том, что введем для удобства угол а меж как бы высотой и образующей конуса (рис. 18). Вообразите себе один факт о том, что найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения
Площадь боковой поверхности конуса равна
По условию задачки имеем уравнение
откуда для
решая его, имеем для
которым отвечают два условия, как большинство из нас привыкло говорить, поставленной задачки:
Ответ: 3. Все знают то, что задачки3.1 Задачки на поверхностиЗадачка №1.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро равно 2a. И действительно, найдите радиусы вписанной и описанной сфер. Решение: SO – высота пирамиды; SO=h. Пусть O – центр основания
пирамиды, M – середина BC, AM – высота в
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, SO
Проведём отрезок SM. Из
Найдём радиус r вписанной сферы. Пусть Q – центр как бы вписанного шара, тогда в
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:
Ответ: Задачка №2.
В правильной четырёхугольной пирамиде радиусы, как люди привыкли выражаться, вписанной и, как все знают, описанной сфер равны 2 см и 5 см. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что найдите сторону основания и высоту пирамиды. Решение: Продолжим высоту пирамиды PH до пересечения со сферой в точке Q. PQ – поперечник, центр описанной сферы лежит на высоте PH, либо на её продолжении за точку H. Необходимо отметить то, что соединим отрезком точку A с точкой H. Необходимо подчеркнуть то, что разглядим сечение плоскостью APQ.
Пусть a – сторона основания, тогда Тогда Проведём
Пусть
Из
Решим систему:
Разделим обе части на
Ответ: 3.2 Задачки на объёмы тел.Задачка №3
В шар
вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Необходимо подчеркнуть то, что какое боковое ребро составляет с основанием угол Решение: Проведём высоту пирамиды MF; проведём отрезки FA, FB, FC, FD.
Площадь поверхности шара:
Объём шара:
Ответ: Задачка №4 Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные, как все говорят, шаровые сегменты. Все знают то, что радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сектора равна 0,5 м. Вообразите себе один факт о том, что какой длины обязана быть образующая цилиндра, чтоб вместимость цистерны равнялась 50 м3? Дано:
Решение:
Ответ: ЗаключениеИтак, при прочтении и исследовании данного материала вы, надеюсь, узнали о шаре и сфере несколько больше чем ранее. Необходимо подчеркнуть то, что проделан большой путь: вы так сказать ознакомились с понятиями шара и сферы, узрели подтверждения, как многие выражаются, принципиальных теорем, также пронаблюдали решения неких увлекательных задач. Обратите внимание на то, что создателю реферата также будет чрезвычайно приятно ежели эти познания, стало быть, сумеют для вас посодействовать в предстоящей деятельности. Все давно знают то, что при написании данной работы я вызнал очень достойные внимания сведения: наиболее обширное понятие шара и сферы, принцип Кавальери. И даже не надо и говорить о том, что также мои познания укрепились в области работы с интегральным исчислением. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что непременно, были трудности при подборе и исследовании неких задач. Само-собой разумеется, при освещении данной трудности мне чрезвычайно посодействовали последующие книжки: Гильберт Д. Необходимо подчеркнуть то, что кон-фоссен С. Все знают то, что приятная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с., Энциклопедия простой арифметики кн. IV, V. /Под ред. Необходимо подчеркнуть то, что в. Необходимо отметить то, что и.Битюукова, И. Надо сказать то, что е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с., Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным исследованием арифметики./Всем известно о том, что а.Д. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с. Литература
© Реферат плюс |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,
опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Очень хочется подчеркнуть то, что ежели основание этого
перпендикуляра М0 окажется вне шара (рис. 2), то другие точки
плоскости и подавно будут как бы лежать вне шара, потому что они еще более удалены от
центра, чем основание перпендикуляра. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что в данном случае плоскость не как бы имеет общих
точек с шаром, она его не наконец-то пересекает. Возможно и то, что ежели основание перпендикуляра окажется на
шаровой поверхности (рис. 3), то, как все знают, другие точки
плоскости, как и в прошлом случае, будут так сказать лежать вне шара. Очень хочется подчеркнуть то, что плоскость будет
иметь одну общую точку с поверхностью;
таковая плоскость так сказать именуется, как многие думают, касательной к шару. Все знают то, что радиус, проведенный в точку
касания, перпендикулярен к, как многие выражаются, касательной плоскости.
. Все знают то, что для
подтверждения проведем через М0 случайный луч М0М, лежащий в секущей плоскости.
Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он также пересечет поверхность шара в
некой точке М. Мало кто знает то, что разглядим треугольник ОМ0М с прямым углом при вершине М0.
Катет М0М по аксиоме Пифагора будет равен 
. И даже не надо и говорить о том, что вообщем, всепостоянство длины отрезка
независимо от направления луча М0М в данной плоскости видно и без внедрения
аксиомы Пифагора (пользуемся равенством, как все знают, прямоугольных треугольников, имеющих
общие катеты и, как все знают, равные гипотенузы). Обратите внимание на то, что сейчас видно, что все точки пересечения
плоскости 
, и поэтому лежит на
поверхности шара (равно как и в плоскости 
, равновелик с кольцом a'c'd'b',
получаемым в сечении, как большинство из нас привыкло говорить, вышеуказанного тела, как большинство из нас привыкло говорить, той же, как большая часть из нас постоянно говорит, самой плоскостью.
Вправду, на основании аксиомы Пифагора в полусфере
, где 
, (2.3.1)
; (2.3.2)
(2.3.3)
(2.3.4)
(2.3.5)
, а размер конуса 
, мы получаем для
объема полусферы величину 
, а для объема всей сферы
(2.3.6)
,
(равных
либо, как многие думают, неравных) и построим, как заведено выражаться, ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Вообразите себе один факт о том, что её
площадь равна
(2.4.1)
(2.4.2)
(2.4.3)
(2.4.4)
(курсивное s) — начальная буковка слова
summa (сумма), а выражение уdx показывает типичную форму отдельных, как заведено, слагаемых.
(2.4.5)
и
(рис. 8). Вообразите себе один факт о том, что введем систему
координат так, чтоб ось Ох была перпендикулярна к плоскостям 
(при х
= а и х = b сечение может наконец-то вырождаться в точку, как, к примеру, (при х=а на
рисунке 8). 
и через точки с абсциссами 
проведем
плоскости, перпендикулярные к оси Ох (рис. 9). Надо сказать то, что эти плоскости разбивают
тело Т на п тел: 
.
Ежели сечение 
—
круг, то размер тела 
(заштрихованного на рисунке 9)
приближенно равен размеру цилиндра с основанием 
. Мало кто знает то, что ежели 
. Возможно и то, что и в том и в другом случае размер тела 
, а размер V всего
тела T можно приближенно вычислить по формуле
(2.5.1)
равен размеру тела,
т.е. 
. Не для кого не секрет то, что с иной
стороны,
.
. (2.5.2)
.
.
(2.6.1)
, то
.
(2.6.2)
. Надо сказать то, что применяя, как мы привыкли говорить, основную формулу
для вычисления размеров тел при 
, 
, получим
. 
от
верхней точки полушара. Конечно же, все мы очень хорошо знаем то, что величина h именуется стрелкой сектора. Как бы это было не странно, но разыскиваемый размер
будет равен разности размеров цилиндра радиуса R с высотой h и, как мы с вами постоянно говорим, усеченного
конуса; потому что радиус, как мы выражаемся, малого основания конуса равен 
, то получаем для размера сектора
. (2.7.1)
.
(2.7.2)
. Не для кого не секрет то, что пусть сектор со
стрелкой 
-
доп к сектору со стрелкой 
. Вообразите себе один факт о том, что вычислим его объём как разность
объёмов шара и сектора со стрелкой h:
. (2.7.3)
. (2.7.4)
,
(2.7.5)
. (2.7.6)
. Все давно знают то, что применяя основную формулу для
вычисления объёмов тел при 
, получим
. (2.7.7)
. (2.8.1)
Ежели 
(2.8.3)
.
(2.8.4)
, 
(рис. 15). Как бы это было не странно, но стрелка сектора,
объём которого мы должны, стало быть, найти, равна
.
.
. Все знают то, что в нашем случае площадь
основания пирамиды (рис. 16)
;
;
.
.
.
; 
.
площадь этого участка—основание
«пирамиды», найдем ее размер как произведение одной трети высоты на площадь
основания (высотой, в конце концов, служит радиус шара): 
.
(2.10.1)
, тем размер шара—на N размеров
«пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь размер представится
суммой
, (2.10.2)
.
(2.10.3)
, (1.10.4) либо 
. (2.10.5)
,
(2.11.1)
.
(2.11.2)
, (2.12.1)
,
(2.12.2)
.
,
,
.
.
,
получается квадратное уравнение
; 
;
два значения:
, 
,
, 
.
.
.
плоскости ABC. Не для кого не секрет то, что найдём R –
радиус, как мы с вами постоянно говорим, описанной сферы. Было бы плохо, если бы мы не отметили то, что продолжим SO до пересечения с, как большинство из нас привыкло говорить, описанной сферой в точке
D. SD – поперечник шара, 
. И действительно, из подобия треугольников 
и 
:
.
,
.
.
, потому из 
:
QM – биссектриса 
.
.
, 
.
,
.
как, вообщем то, опирающийся на поперечник, 
.
.
, отрезок PL. 
, плоскость 
плоскости 
. Вообразите себе один факт о том, что пусть O – центр вписанной сферы, 
- биссектриса 
.
.
.
;
.
.
.
см; 8 см либо 6 см, 
см.
, потому что они прямоугольные, MF – общий
катет, 
- по
условию. Мало кто знает то, что таковым образом, FA=FC=FB=FD, точка F равноудалена от вершин основания,
другими словами является центром, как мы привыкли говорить, описанной около основания окружности. Всем известно о том, что нарисуем сечение
пирамиды и шара плоскостью AMC. Вообразите себе один факт о том, что точка O – центр шара, 
. Само-собой разумеется, по аксиоме синусов в 
:
, где R – радиус шара.
.
(см2).
(см3).
.
. 
.
- шаровые сегменты.
, где 
м.© REFERATPLUS.RU |
