Преобразования фигур

	Скачать реферат: Преобразования фигур

I.    Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II.   Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.

Подобие

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’,  Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся  одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование  относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии  переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме  о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными  с пересекающимися прямыми другой плоскости,  плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую  если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.

Если точка  A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A1C1 < A1B1 + B1C1. По определению движения отсюда следует, что AC<AB+BC. Однако по свойству измерения отрезков AC=AB+BC.

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит на прямой A1C1. Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B1 лежит между A1 и C1. Допустим, что точка A1 лежит между точками B1 и C1. Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A1 не может лежать между точками B1 и C1.

Аналогично доказываем, что точка C1 не может лежать между  точками A1 и B1.

1. Так как из трех точек A1,B1,C1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A1B1 и A1C1. Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1A1C1, что и требовалось доказать.

4. Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть a - произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость a'.

Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость a переходит в плоскость a'.

Пусть  X - произвольная точка плоскости a. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости a, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a'. Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y' и Z', принадлежащие треугольнику A'B'C', а значит, плоскости a'.

Итак прямая a' лежит в плоскости a'. Точка  X при движении переходит в точку X' прямой a', а значит, и плоскости a', что и требовалось  доказать.

В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.

III.   Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение, параллельный перенос.

Симметрия относительно точки

Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX', равный OX. Точка X' называется симметричной точке X относительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной точке O, называется преобразованием симметрии относительно точки O.  При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно точки O.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии  является точка пересечения диагоналей. 

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство. Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X' и Y'. Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX', OY=OY' по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X'Y'. А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.

Симметрия относительно прямой

Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX', равный отрезку AX. Точка X' называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A' (x';y') фигуры F'. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x' = -x.

Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в точки A' (-x;y) и B' (-x;y).

Имеем:

                                AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

                                A'B'2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2

Отсюда видно, что AB=A'B'. А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.

Симметрия относительно плоскости

Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку Aоткладываем отрезок AX', равный XA. Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии относительно плоскости a.

Если точка X лежит в плоскости a, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется  симметричной относительно плоскости a, а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Поворот

Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Это значит, что если при поворот около точки  O точка переходит в точку X', то лучи OX и OX' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Параллельный перенос в пространстве

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и те же для всех точек (x; y; z). Параллельный переносов пространстве задается формулами

                                                                x'=x+a, y'=y+b, z'=z+c,

выражающими координаты x', y', z' точки, в которую переходит точка  (x; y; z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:

1. Параллельные перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4. Каковы  бы ни были точки A и A', существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'.

Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:

5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную её плоскость.

Действительно, пусть a - произвольная плоскость, проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе прямые a и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые a' и b'. Плоскость a переходит в некоторую плоскость a', проходящую через прямые a' и b'. Если плоскость a' не совпадает с a, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными  с пересекающимися прямыми другой плоскости, она параллельна a, что и требовалось доказать.

Список использованной литературы:

1. Учебник Геометрии 7-11 классы. А.В. Погорелов

2. Учебник Геометрии 10-11 классы. А.Д. Александров.