Календарь
Октябрь
Пн   2 9 16 23 30
Вт   3 10 17 24 31
Ср   4 11 18 25  
Чт   5 12 19 26  
Пт   6 13 20 27  
Сб   7 14 21 28  
Вс 1 8 15 22 29  

Несобственный интеграл с несколькими особенностями



Скачать: Несобственный интеграл с несколькими особенностями

Дадим определение сначала несобственному интегралу

Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] О [ a , w )

Тогда, если   существует:                

То его величина обозначается  

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f   на промежутке [ a , w )

Если предел не существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл   расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится

Если функция   f   неотрицательна   и   непрерывна   на промежутке [ a , b ) ( b может   быть   бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]

Если   функция    определена   на интервале   ( a , b )   и неограниченна   в точках   a и b   и   при некотором выборе   точки с   ( a , b )   существуют   несобственные   интегралы   на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c О ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки   с . Тогда

Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение   < a , b >, что на каждом   из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой   точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

Аналогично, интеграл расходится, значит

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями

  Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл    расходится   при   b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел

На концах отрезка   [0,2]   подынтегральная   функция определена.   Но   x =1   является особой    точкой

Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие   интегралы:

Сначала   рассмотрим   

F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )]   не имеет предела   при   b 1   значит исходный   интегралы   расходятся

Но следует заметить, что прежде чем исследовать   несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную   функцию, найти ее особые точки   и   построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке   [0,2]   выглядит   примерно   так

  Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

1)Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f непрерывна на [ a , b ), и F - первообразная f .Тогда

Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )

2)Линейность несобственного интеграла

Если несобственные интегралы

Сходятся,то для любых чисел   m , n сходятся несобственный интеграл

3)Интегрирование по частям

Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то

Причем,если любые два из выражений

имеют   смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):

Причем

4)Замена переменной в несобственном интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:

Пример 6:

Монотонность несобственного интеграла

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x О <a,b>,то

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1]

т.е. сходится, а для fg =1/ x

Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]

Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)

и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо   применять следующие методы:

Признак сравнения

Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:

Пусть функции f(x) и g(x)   неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости

Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида  

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Пример 9:

Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел

Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]:

Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо   отыскать функцию сравнения в виде:

Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a]

Пример 10

Видно, что интеграл расходится. На интервале [3;5) функция сравнения принимает следующий вид

Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен

При   x 0

Ln(1+x)~x

Sinx~x

Tgx~x

Arcsinx,arctgx~x

Нельзя забывать, что при x

Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )

При x 0 Arccosx,arcctgx p /2

Теперь вспомним пример 8.1

Решим с помощью правила Лопиталя:

Пример 11

Полученный интеграл расходится

Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов

Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):[ a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям:

а)   при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на [ a ; b )

Справедливо:

Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале [a;b):

a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0

Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций

Если интеграл сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся,

И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится

Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл   от |f(x)| расходится, а от f(x) –сходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает   с   обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле



  © Реферат плюс


Поиск

  © REFERATPLUS.RU  

Яндекс.Метрика