Календарь
Декабрь
Пн   4 11 18 25  
Вт   5 12 19 26  
Ср   6 13 20 27  
Чт   7 14 21 28  
Пт 1 8 15 22 29  
Сб 2 9 16 23 30  
Вс 3 10 17 24 31  

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра



Скачать: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

План реферата

І. Объект исследования.

ІІ. Цель исследования.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра.

Использованная литература.

І. Объект исследования

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1)  Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.

ІІ. Цель исследования

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

Доказательство.

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А,  ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC×AD

 SOBC=1/2 BC×OD

SOAB =1/2 OA×OB

SOAC=1/2OA×OC

S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=

=1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), т.к.

ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

 S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD² , т.к.

OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

  Дано: А

 ОАВС- прямоугольный тетраэдр

где а , b , с - катеты. В

 АВ, ВС и АС- гипотенузы  а

Доказать: b

АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с²)

  Доказательство.  О

АВ² = а² + b ² с С

ВС² = b ² + с² (по теореме Пифагора)

АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

а , b , с - катеты. В

   Доказать:  а b

V=(1/6)  а · b · с

 Доказательство. О  С

 Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

 Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

 V=(1/3) SOBC· а ,  т.к.SOBC=(1/2) b ·.с  

Имеем  V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.

Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

Доказательство.

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

Поскольку  h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

Аналогично:

cos β = ОД/ОВ =  d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

cos γ =  ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

Доказательство. с С

На базе прямоугольного тетраэдра

 ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:

КС =  D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

что и требовалось доказать.

VII.  Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с –  катеты. О1 – центр вписанной сферы

r -  радиус вписанной сферы

Доказать:

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.

Пусть do  - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

 Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

ОК =  |ОО1|cosδ ,  где δ – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.

|OO1|cosδ = (OO1·do) =  r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО1·dо) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда  h = OK + KH, т.е.

h = |OO1|cosδ + r,  т.к. КН = r

(поскольку КНДО1 является прямоугольником).

Имеем

h = r cosα + r cosβ + r cosγ + r

т.е.

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

Доказать, что гипотенузная а  грань является правильным треугольником и косинусы О Д двугранных углов между гипотенузной гранью и катетными а гранями равны С

Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

 АС = √ ОА² +OC² = √2 а

АВ = √ ОА² +OB² = √2  а

ВС = √ ОВ² + ОС² = √2  а

т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а =  √3/2 а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

ОД = а/√2

Косинус двугранного угла: сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.

Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.

ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра

Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.

Список использованной литературы:

  1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.
  2. А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.
  3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.


  © Реферат плюс


Поиск

  © REFERATPLUS.RU  

Яндекс.Метрика