III. Сгущение геодезической основы с использованием светодальномерной полигонометрии 4 класса

Составление проекта полигонометрических ходов, установление их формы и определение предельной ошибки планового положения точки в слабом месте хода. Расчет влияния ошибок линейных измерений

Проектирование базиса для уточнения постоянных светодальномера. Расчет влияния ошибок угловых измерений. Расчет точности определения высот пунктов полигонометрического хода

В пределах территории подлежащей съемке известны только три пункта триангуляции, они показаны на кальке условным знаком в виде треугольника с обозначенным центром. Их явно недостаточно для привязки всех запроектированных опознаков. Поэтому необходимо провести работы по сгущению главной геодезической основы, чтобы иметь достаточное количество исходных пунктов для привязки опознаков

Сгущение главной геодезической основы на объектах крупномасштабных съемок производится методом светодальномерной полигонометрии 4 класса с несколько пониженной точностью, по сравнению с государственной полигонометрией 4 класса Отдельный ход полигонометрии 4 класса должен опираться на два исходных пункта с обязательным измерением примычных углов. В таблице #2 приводятся основные требования к построению полигонометрии 4 класса, а также 1 и 2 разрядов

На основании этих требований были запроектированы 2 полигонометрических хода 4 класса от пункта триангуляции 1 до пункта триангуляции 3 - первый, и от пункта триангуляции 2 до пункта триангуляции 3 - второй (исходные пункты триангуляции показаны на кальке условным знаком в виде треугольника черного цвета). Оба хода спроектированы таким образом, что их пункты располагаются вдоль шоссейных дорог, что, как было уже отмечено выше, обеспечит их сохранность и снизит возможность утери

На кальке стороны ходов показаны тонкими линиями красного цвета, а пункты полигонометрии - условным знаком в виде квадратика, также красного цвета. Пункты полигонометрии подписаны буквами "ПЗ", что означает "полигонометрический знак" и далее его номер, например, ПЗ12

Длина первого хода ( [s] ) составляет 6.650 км, а второго 6.325 км. Число сторон в каждом по 10. Как известно, более длинный ход менее надежный, поэтому расчет точности будет вестись именно для такого хода (то есть для первого); очевидно, что все выполненные расчеты также будут справедливы и для менее длинного хода, иными словами, при соблюдении технологии, более короткий ход будет проложен с точностью, не ниже рассчитанной для более длинного хода

Полигонометрические ходы в общем случае имеют произвольнуюизогнутую форму (конечно, не противоречащую Инструкции). Однако, в некоторых случаях ходы могут иметь вытянутую форму - как частный случай изогнутых ходов. Поэтому расчет точности начинается с установления формы хода. Это связано с фактом существования упрощенных
расчетных формул для ходов вытянутой формы

Ход считается вытянутым, если он одновременно удовлетворяет трем критериям вытянутости полигонометрического хода. Если хотя бы одно из требований критериев не выполняется, то ход нельзя считать вытянутым. Для проверки этих условий, первый ход был скопирован на отдельную кальку (рис. #8), чтобы не отягощать основной чертеж избыточной информацией. После этого были проверены 3 критерия вытянутости полигонометрического хода. Они расположены в порядке ужесточения требований к вытянутости хода, то есть если не соблюдается критерий #1, то не имеет смысла проверять критерий #2 и так далее

Критерий #1: "Отношение периметра хода к длине замыкающей не должно превосходить 1.3". Проверка: периметр равен 6.650 км, а длина замыкающей - 6.225 км. Их отношение составляет примерно 1.07, и, следовательно, ход удовлетворяет критерию #1

Критерий #2: "Отклонение углов сторон от замыкающей не должно превосходить одной восьмой части замыкающей". Для проверки этого критерия раствором измерителя было взято расстояние, равное 1/8 L в масштабе исходной карты масштаба 1:25000; это расстояние составляет 0.778 км (или 3.1 см на карте). Затем было проверено отклонение каждого угла стороны. Выяснилось, что отклонение угла стороны от замыкающей даже в самом изогнутом месте хода не превышает заданной величины в 1/8 L. Значит, ход удовлетворяет и этому критерию

Критерий #3: "Разность дирекционных углов стороны и замыкающей не должна превосходить 24 градуса". Для проверки этого критерия нужно воспользоваться транспортиром, а в тех местах хода, где невозможно непосредственно измерить разность дирекционных углов, необходимо продолжить сторону или перенести замыкающую параллельно самой себе

В ходе проверки выяснилось, что ход не удовлетворяет данному критерию (отклонение дирекционных углов сторон ПЗ2 - ПЗ3 и ПЗ5 - ПЗ6 от дирекционного угла замыкающей превышает допуск). Следовательно, ход нельзя считать вытянутым, и для его расчета необходимо использовать формулы для ходов произвольной изогнутой формы

Расчет хода состоит в определении ошибок измерения углов, линий и превышений по ходу, а затем, и в выборе инструментов для измерения, таких, чтобы обеспечивалась необходимая точность, которая задается заранее

Сначала определяется предельная ошибка в слабом месте хода после уравнивания. Существует соотношение:

                              прf     1
                             ----- = --- ,            (1)
                                                            [s]     T

где прf - предельная плановая невязка полигонометрического хода, [s] - периметр хода, 1/T - относительная ошибка хода.

Предельная невязка связана с предельной ошибкой следующим образом:

                              2M = прf ,              (1а)

откуда следует следующая формула:

                                     [s]
                                M = ----- ,           (1б)
                                                                          2Т

где 2T равно 50000, так как относительная ошибка полигонометрического хода 4 класса задается как 1/25000.

Величина M составила 0.133 метра. При оценке точности полигонометрического хода произвольной формы известна формула средней квадратической ошибки положения конечного пункта хода до уравнивания:

                                    m
                        M = [m ] + --- [Dцi] ,
                                    p

где m - средняя квадратическая ошибка измерения сторон хода, m - средняя квадратическая ошибка измерения углов по ходу и Dцi - расстояния от центра тяжести хода до i-того угла.

Применив к данной формуле принцип равных влияний, получим соотношения, которые можно использовать для расчета ходов:

                            M = 2 [m ]               (*)

и

                                  m
                           M = 2 --- [Dцi] .         (**)
                                  p

Сперва рассчитывалось влияние ошибок линейных измерений. Поскольку ошибка измерения расстояния светодальномером не сильно зависит от самого расстояния (в пределах длин сторон от 0.5 до 1.5 км), можно считать, что:

                              [m ] = m n ,

где m - ошибка измерения стороны средней длины, а n - число

сторон в ходе, и, следовательно (*) преобразуется к следующему виду:

                                       M
                                 m = ----- .         (2)
                                      2 ачения M = 0.133 метра и n = 10,
получаем среднее влияние ошибки линейных измерений m = 30 мм. 

По данному значению ошибки можно выбрать прибор (светодальномер), который обеспечит заданную точность. Как видно из таблицы #3, светодальномер СТ5 "Блеск" полностью обеспечивает данную точность измерения линий. Его средняя квадратическая ошибка измерения линий рассчитывается по формуле m (мм) = 10 + 5/км, поэтому даже при максимальной длине стороны в 2 км, ошибка не превзойдет 20 мм, таким образом этот светодальномер не только обеспечивает заданную точность измерения, но и создает некий "запас" этой точности.

Измерять расстояния необходимо как минимум при трех наведениях светодальномера на отражатель с контролем на дополнительной частоте.

Для уточнения значений постоянных светодальномера, а именно постоянных приемо-передатчика и отражателя на ровной местности выбирают базис длиной 200 - 300 метров. В качестве базиса можно использовать одну из сторон второго полигонометрического хода (она обозначена на кальке двойной линией).

Базис измеряется базисным прибором БП-3 с относительной ошибкой не менее 1/50000. При самых неблагоприятных условиях, когда источники ошибок имеют систематический характер влияния на результаты измерений, предельные ошибки одного источника рассчитываются по следующим формулам.

Предельная ошибка компарирования мерного прибора:

                                   l
                         пр l = ------- ,
                                 5.3 бки измерения базиса.

Подставив конкретные значения, получаем, что пр l составляет 0.09 мм.

Предельная ошибка уложения мерного прибора в створе измеряемой линии:

                                      l
                          пр  = l  -------- .
                                    10.6 ы в створ необходимо 
устанавливать теодолитом, входящим в базисный комплект.

Предельная ошибка определения превышения одного конца мерного прибора над другим:

                                         l
                              пр h = ---------  n' ,
                                      h 5.3 T

где h - среднее превышение одного конца мерного прибора над другим, n' - число уложений мерного прибора в створе линии.

По карте было измерена длина проектируемого базиса - 275 метров, и превышение одного его конца над другим - 2.5 метра. Откуда, число уложений мерного прибора в створе базиса 12, а среднее превышение, приходящееся на один пролет 0.21 м.

Рассчитанная по формуле ошибка определения превышения одного конца мерного прибора над другим не должна превосходить предельного значения в 36 мм. Таким образом, достаточно определять превышения техническим нивелированием.

Для этих целей подойдет любой нивелир, например, 2Н-10КЛ, обладающий компенсатором и прямым изображением; эти достоинства нивелира позволяют сделать труд нивелировщика более производительным. Технические характеристики этого нивелира приводятся в таблице #6.

Предельная ошибка определения температуры мерного прибора:

                                      1
                           пр t = --------- ,
                                   5.3 T a

где a - коэффициент линейного расширения инвара 0.5E-6.

Данная формула дает значение предельной ошибки равное 8 C. Поэтому можно определить температуру мерного прибора всего 2 раза - в начале измерения и в его конце.

Предельная ошибка натяжения мерного прибора рассчитывается по формуле:

                                         w E
                                пр F = ------- ,
                                        5.3 
Получено  значение  предельной ошибки натяжения мерного прибора
равное 100 г.

Точность натяжения гирями - 20 - 50 г, а динамометром - 150 300 г. Таким образом, для натяжения прибора должны использоваться гири.

Далее необходимо рассчитать влияние ошибок угловых измерений. В формулу (**) входит [Dцi] - то есть сумма квадратов расстояний от центра тяжести хода до каждого угла. Следовательно, требуется найти центр тяжести хода.

Есть 2 способа его определения - графический и аналитический.

Аналитический используется при известных координатах всех пунктов хода, а для графического способа достаточно изображения хода в масштабе.  Поэтому в данной работе используется графический способ определения центра тяжести. Для этого используют известное правило механики о сложении параллельных одинаково направленных сил. Процесс определения центра тяжести хода показан на рис. #8.

После нахождения центра тяжести хода были измерены расстояния от него до всех углов хода и была получена сумма их квадратов (таблица #4).

Формула для расчета влияния ошибки измерения углов (**) преобразуется в следующее выражение:

                                     M p
                               m = ------- .          (3)
                                   2 [сти  хода
средняя квадратическая ошибка измерения одного угла не должна превышать 3".

Такую точность обеспечивает теодолит серии Т2, например 3Т2КП.

Технические характеристики этого теодолита представлены в таблице #5.

Следует отметить способы измерения углов. На пунктах триангуляции углы рекомендуется измерять способом круговых приемов, если необходимо отнаблюдать несколько направлений, те же рекомендации справедливы и для засечек. Сущность способа круговых приемов состоит в следующем.

С пункта наблюдения выбираются начальное направление с хорошей видимостью. Установив теодолит, при круге лево последовательно визируют на пункты A, B, C, и т.д., вращая алидаду теодолита по ходу часовой стрелки и делая при каждом визировании отсчеты, которые записывают в журнал. Заканчивают наблюдение вторичным визированием на начальный пункт, отсчет также записывают в журнал. Это повторное наблюдение на пункт, принятый за начальный, называемое замыканием горизонта, производят для того, чтобы убедиться в неподвижности лимба в процессе измерения. По инструкции величина расхождения при замыкании горизонта не должна превосходить 7 секунд для полигонометрии 4 класса. Описанные действия составляют один полуприем. После этого переводят трубу через зенит и вновь производят наблюдения на пункты начиная с начального, но в обратной последовательности, вращая алидаду против часовой стрелки.

Если на пункте необходимо отнаблюдать только два направления, пользуются методом отдельного угла. Порядок наблюдений при этом остается таким же, с отличиями: не визируют повторно на начальный пункт; алидаду вращают как в первом, так и во втором полуприемах только по часовой стрелке или только против часовой стрелки. Два полуприема измерения направлений составляют один полный прием.

На пунктах полигонометрии при проложении ходов углы измеряются способом круговых приемов по трехштативной системе - такая система измерения углов позволяет уменьшить ошибки центрирования и редукции.

Суть ее в следующем.

Ось вращения теодолита при установке его над центром знака должна занимать в пространстве такое же положение, которое занимала ось вращения марки до и после установки теодолита. Для выполнения этого условия в трех соседних вершинах полигонометрического хода устанавливают три штатива с закрепленными на них подставками. На на заднем (A) и переднем (C) штативе устанавливаются марки, а на среднем (B) теодолит. После измерения штатив с маркой (A) переносят через две точки - на следующую после C точку (D), а два других штатива (B) и (C) остаются на месте. Марку, стоявшую в точке A, переставляют на штатив в точке B, теодолит переставляют на штатив в точке C, а марку, стоявшую в точке C, переставляют на штатив в точке D. Таким же образом измеряют и все последующие углы в ходе.

Кроме того, можно вести одновременно с угловыми - линейные измерения, то есть после измерения угла необходимо поставить на средний штатив светодальномер, а на два других - отражатели.

Величина средней квадратической ошибки измеренного угла m содержит влияние ряда источников ошибок: редукции, центрирования, инструментальных, собственно измерений и внешних условий. На основании принципа равных влияний средняя квадратическая ошибка за один источник может быть вычислена по формуле:

                                    m
                              mi = --- ,               (4)
                                    5

откуда вытекает, что в данном случае ее величина составляет 1.3".

Линейные элементы ошибок центрирования и редукции вычисляются по формулам:

                                 m
                           e = ----- S min ,
                                p 2

и

                                 m
                            e = --- S min ,
                                 p

где e и e есть линейные элементы центрирования и редукции, m и m - средние квадратические ошибки за центрирование и редукцию, S расстояние, для которого рассчитывается данное влияние; очевидно, что наибольшее влияние редукции скажется на коротких расстояниях поэтому в расчетах берется длина минимальной стороны хода.

В рассчитываемом ходе длина таковой составляет 475 метров. В качестве величин средних квадратических ошибок центрирования и редукции берутся величины mi, то есть максимальное влияние одного источника ошибок.

Таким образом из формул вытекает, что для обеспечения заданной  точности угловых измерений необходимо, чтобы линейный элемент центрирования не превышал 2 мм, а линейный элемент редукции не превышал 3 мм.

Анализируя эти значения допусков можно сделать такой вывод:

• центрировать теодолит нужно в корень из двух раз точнее, чем марки;
• штативы перед установкой на них приборов должны быть тщательно отцентрированы с помощью лотаппарата, перед началом полевых работ надо исследовать редукцию марок и поверить оптический центрир теодолита.

Число полных приемов, которыми необходимо измерить углы на пунктах, зависит от точности, с которой заданно определить эти углы.

Число приемов можно определить по формуле:

                                    1
                              m =  --- (m  + m  ) ,
                                    n

где m - средняя квадратическая ошибка собственно измерения угла, n - число приемов, m и m соответственно средние квадратические ошибки визирования и отсчитывания, откуда

                                   m  + m
                              n = --------- .             (5)
                                     m

Известно, что точность визирования зависит от разрешающей способности глаза и увеличения прибора. Поэтому средняя квадратическая ошибка визирования, рассчитанная по формуле:

                                  60"
                           m  = ----- ,                 (6)
                                   Г

где Г - увеличение зрительной трубы теодолита, для данного случая равна 2 секунды.

Величину средней квадратической ошибки отсчитывания для теодолита серии Т2 можно принять равной 1 секунде. Значение ошибки собственно измерения угла принимается равным mi - то есть величине влияния одного источника ошибок.

Из перечисленных выше соображений и по формуле для расчета средней квадратической ошибки собственно измерения угла вычисляется число необходимых приемов. Это число получилось равным трем.

Таким образом для обеспечения заданной точности измерения углов, при учтенных влияниях ошибок, необходимо измерять углы тремя приемами.

Каждый пункт Государственной геодезической основы из сети сгущения обязательно должен иметь отметку, причем предельная ошибка отметки наиболее слабого пункта должна быть меньше одной десятой высоты сечения рельефа карты наиболее крупного масштаба. Отсюда правомочно записать следующее соотношение:

                                 пр Mh < 0.1 h ,

где пр Mh - предельная ошибка высотного положения пункта, а h в нашем случае 2 метра.

Известно что невязка численно равна удвоенной предельной ошибке. Таким образом,

                          пр fh     20 мм L
                 пр Mh = ------- = --------- = 10 мм L ;
                            2          2  нивелирования  IV
класса.

Очевидно, что IV класс нивелирования полностью обеспечит заданную точность. Действительно, предельная ошибка отметки пункта при длине хода в 6.65 км составит 26 мм, а 0.1 h есть 20 см. Поэтому, в принципе, для данного хода можно было вполне обойтись техническим нивелированием. Однако, Инструкция требует передачи высот в полигонометрии 4 класса нивелированием IV класса по следующей причине: полигонометрический ход может быть использован не только для привязки опознаков, но и в качестве сгущения съемочной основы и обоснования крупномасштабных съемок. Данные пункты могут также использоваться в качестве исходных при техническом нивелировании.

Для производства работ по передачи высот в полигонометрии нивелированием IV класса могут быть использованы точные нивелиры 2Н-3Л и Н3. Технические характеристики этих приборов приведены в таблице #6.