Теорема Гаусса

	Скачать реферат: Теорема Гаусса

Электромагнитное поле

это дискретное явление, при котором минимальный заряд равен заряду электрона.

q e = -19 Кл

q p  = -19 Кл

Fкул  =  , = , 

где  q – источник электрического поля

- пробный заряд

 - указывает направление.

(Рисунок)

Электростатическое поле в вакууме.

(поле неподвижных зарядов)

Напряжённость электростатического поля.

 - напряжённость поля, созданного точечным зарядом

(Рисунок)

Для непрерывного распределения заряда суммирование определяется всеми зарядами в произвольной точке пространства:

 - по всему объёму тела

(Рисунок)

Пример.

(Рисунок)

,  , -?

точка О – начало отсчёта

2. Линии вектора напряжённости.

линии, направления которых в каждой точке совпадают с вектором напряжённости.

Количество линий, пересекающих единичную перпендикулярную поверхность должно быть равно модулю вектора напряжённости.

(Рисунок)

3. Поток вектора напряжённости.

Количество линий напряжённости пронизывающих данную поверхность:

(по поверхности)

(Рисунок)

Если  и  = const, то .

Теорема Гаусса.

Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, делённых на электрическую постоянную.

(Рисунок)

 - принцип суперпозиции.

Результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов напряжённости входящих зарядов.

Расчёт напряжённости с помощью теории Гаусса.

Можно выбрать расчёт dS так, чтобы E можно было вынести за знак интеграла.

Напряжённость поля однородно заряженного шара.

(Рисунок)

а)  если r > R,

то 

б) если r < R,

(Рисунок)

то 

, 

(Рисунок)

Замечание.

При неоднородном распределении заряда (но сохраняется сферическая симметрия):

  , где 

(Рисунок)

Если заряда внутри нет, то и поля внутри нет. Если имеется поле, то внутри поле отсутствует.

(Рисунок)

Расчёт напряжённости бесконечной плоскости (заряженной).

(Рисунок)

Поток через замкнутую поверхность цилиндра равен потоку основания  и боков поверхности.

,   

(Рисунок)

Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра.

(Рисунок)

, 

r > R,

,

(Рисунки)

Для цилиндрической оболочки поле внутри отсутствует.

Для получения используют теорему Остроградского.

- дивергенция.

, где

Потенциал электрического поля.

j - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда, помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда.

Докажем консервативность сил  и потенциальность электрических сил поля.

(Рисунок)

Связь между напряжённостью и потенциалом.

 

Рассмотрим в дифференциальном виде:

(Рисунки)

Элементы математической теории поля.

Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).

Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).

Градиент.

Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z.

(Рисунок)

В трёхмерном случае:

или  , где  - намбла.

 - векторный дифференциальный оператор.

Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.

В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля.

Дивергенция. Теорема Гаусса.

(Рисунок)

Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в объем V через поверхность S 0, то внутри объёма имеется источник (через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный.

Характеристикой  стоков и источников служит величина, называемая дивергенцией – расхождение вектора скорости.

, где - поток вектора скорости через замкнутую поверхность.

Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность источника в точке P и является скалярной функцией координат.

(Рисунки)

  

Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего рассмотрим поток  через элементарный кубик.

(Рисунок)

Поток из кубика наружу будет равен:

; где  - поток через i грань.

Для одной грани:

Проекции векторов  и связаны соотношениями:

Поток через первую и вторую грани будет равен:

Аналогично получим:

Полный поток:

,

Отсюда:

Дивергенция связывает векторную величину, характеризующую поле, со скалярной величиной.

Зная   в любой точке пространства, можно вычислить её значение через любую замкнутую поверхность конечных размеров.

   - / теорема Гаусса /.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим, рассмотренный в механике, принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила , действующая со стороны поля на приобретённый заряд  равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов .

      (8)

      (2)

    (3)

     (5)

     (6) 

   (7)

Согласно (2):  и  ,

Где  - напряжённость результирующего поля.

 - напряжённость поля, создаваемого зарядом .

Подставим последнее выражение в (8):

   (9)

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей заключается в том, что наложенность напряжённости результирующего поля, создаваемого системой заряда, равна геометрической сумме напряжений полей,  создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.