3 Нелинейные динамические системы

Нелинейные динамические системы описываются дифференциальными уравнениями :

Если линейные дифференциальные уравнения имеют решения  (экспоненциальные), то для нелинейных дифференциальных  уравнений нет общих решений (за редким исключением), но все реальные динамические системы нелинейны, некоторые из них нельзя линеаризировать, как быть ?

Выход : 1) Там,где возможно, делается линеаризация правой  части уравнения (1).

Линеаризация - замена нелинейной функции на линейную. 

(2)   f(x,t)=A(t)x + B(t) + S(x,t)
      S(x,t) - мало, им можно принебречь.
Если правая часть (1) не зависит от времени, то система называется автономной  

Линеаризация используется,как правило, для проверки  устойчивости системы. Для исследования свойств нелинейных динамических систем, обычно используются качественные  и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Теория нелинейных уравнений часто называется теорией нелинейных колебаний.  

Пример : Нелинейной динамической системы уравнений Вандер 

Поля.

        - нелинейность.
        = const
Дифференциальное уравнение называется нелинейным, если оно нелинейно относительно разыскиваемой переменной (самой переменной или ее производной) (нелинейность из-за квадрата)

    Требуется найти решение x(t) .

Существуют численные методы решения таких дифференциальных уравнений ( численные методы рассматриваются на сетке с шагом  ) . Решение получается не непрерывное , а  дискретное.

               Численный  метод Эйлера    ( численный метод)

Численный метод предназначен для решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Берется из апприорных (начальных условий), подставляется в правую часть уравнения (5) и т.д. Это называется реккурентностью.

Качественная теория решения нелинейных дифференциальных уравнений  (в приложении к нелинейным системам)

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно делать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения дифференциальных уравнений, она используется для решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фазового портрета (некоторый графический материал, по которому можно анализировать траекторию движения динамической системы, т.е. фактически получить решение (1-го из  решений).

На примере X и Y :

Найти решение означает - найти  y=j(x) (2), которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на плоскости.

                 Метод изоклин

Если f(x,y)=const, то , а , на кривой f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение, такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const) Можно вычислить множество изоклин, это множество дает поле направлений. Касательная к этому полю и есть решение, т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -  -есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окружность дает решения синусоидального колебания.

Пусть  ? 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти пов :

Выводы :

1) Динамические системы радиоавтоматики описываются дифференциальными уравнениями 1, 2 и более высокого порядка ( например: колебательная система(солнечная система, автогенератор, полет космического аппарата в поле притяжения земли) описывается диф. уравнением 2-го  порядка и выше.

2) Линейные динамические системы описываются линейными диф. уравнениями. Линейная динамическая система составленная из R,L,C - цепочек и активных элементов (транзисторов и т.д.)

Любая линейная система путем преобразования  Лапласа может быть представлена в виде передаточной функции.(Диф. уравнение преобразуется по Лапласу). Передаточная функция записывается для удобства в комплексном виде, на  мнимой оси p=jw можно найти АЧХ и ФЧХ линейной системы. Передаточная функция дает информацию об устойчивости системы.

3) Нелинейные динамические системы описываются нелинейными диф. уравнениями, в этих системах обязательно есть нелинейность вида ( и др.), общих решений и анализа через передаточную функцию как правило не существует, поэтому есть два метода :

а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановление по точкам)

б) решение диф. уравнений методом фазового портрета (качественная теория). (Это наглядный путь выяснения поведения нелинейной системы)

Стохастические системы   

Стохастика - случайность.

Определение: Динамическая система называется стохастической , если она описывается дифференциальным  или разностным уравнением, в правую часть  которого входит случайный процесс.

Такую систему можно представить в виде линейного или нелинейного четырехполюсника, на вход которого подается шум

Составление модели любой динамической системы должно  в реальных условиях(например движение самолета или ракеты) составляться с помощью предварительных экспериментов над движением реальной системы. (Как правило это дифференциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения вставляется некоторый шум, который является случайным  процессом.

Для дальнейшего составления модели используется идентификация модели на основании эксперимента или экспериментальных данных.

Идентификацией  называется оценка коэффициентов разностного уравнения и оценка параметров шума: дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.                                                                                     

Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и модель были близки.Получив модель мы имеем возможность, используя эту модель, получить близкую к реальной   картине ситуацию движения системы и создать управление ситуацией по нашей модели.

Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать управляемые динамические системы для любых тактических ситуаций, известных из практики.

Правильно созданная модель - это максимум успеха в проектировании эффективной системы. После создания и отработки модели стохастической динамической системы создается аппаратура по этой модели,  которая проверяется на динамическом стенде.

Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситуации уже с аппаратурой.

3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На  борту транспортного или военного средства).

Моделирование случайных процессов с дискретным временем

Марковская аппроксимация случайных процессов

Марковским процессом называется такой процесс, у которого многомерная плотность вероятности  факторизуется в следующем виде : . Некоторые  значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это многомерная плотность вероятности

Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты  процесса в моменты времени , чтобы все  были независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следующим образом:  - факторизация.

Однако при такой факторизации может потеряться информация о случайном процессе. Есть потеря информации для  произвольных отсчетов (кореллированность процесса).

Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ  аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ  факторизуется так :

условная плотность вероятности.

Факторизация (2) позволяет сильно упростить математические выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выполняется условие (2)

Оказывается, существует очень много генераторов марковских процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

                 Процессы авторегрессии

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского
процесса.

                1. Односвязная регрессия

     а - коэффициент регрессии.
Если 0<a<1, то можно доказать, что а - это коэффициент  корреляций между  и .
Если процесс изменяется очень медленно, то он сильно коррелирован. Коррелированными процессами очень легко управлять и они очень легко анализируются и прогнозируются.

Генератор марковского процесса, реализующий авторегрессию
1-го порядка

Утверждение (1) : процесс (1) является марковским.

Доказательство: Пусть  заданная величина. Процедура (1) называется реккурсивной или иттеративной, рекурентной.

Структурная схема генератора марковского процесса

Это структурная схема 4х полюсника, которая реализует генерацию марковского случайного процесса . Это генератор с внешним возбуждением, который возбуждается с помощью независимого гауссовского процесса .

    Сетка дискретного времени:

Утверждение (2)

На выходе 4х полюсника процесс  ,i=1,2...n - коррелирован, с коэффициентом корреляции ‘a’.

         Утверждение доказано.

Вывод:  На вход схемы рис.1 идет некоррелированный случайный процесс , а следовательно независимый.

(если процесс гауссовский и некоррелированный, то он независимый, для других процессов это неверно) В природе наиболее часто встречается гауссовский  случайный процесс. На выходе схемы - зависимый коррелированный марковский процесс, у которого плотность факторизуется по условным плотностям.
 - не факторизуется
  - факторизуется    
Процесс (1) называется односвязный марковский процесс.

Замечание: Процесс (1) получен при дискретизации непрерывного линейного диф. уравнения 1-го порядка.
   без учета стохастической правой части
На сетке дискретного времени имеем :

Авторегрессия 2-го порядка - двухсвязный процесс

(1)  

Коэффициенты   называются коэффициентами регрессии. Уравнение (1) без стохастической правой части легко  получается из диф. уравнения 2-го порядка. Уравнение (1) реализует генератор марковского процесса, который называется двухсвязным в зависимости от входного процесса .

На вход генератора действует белый шум. На выходе - двух связный марковский процесс.

В зависимости от коэффициентов  ны выходе будут различные процессы. Процесс (1) получается из линейного диф.
уравнения 2-го порядка, если это диф. уравнение рассматривать на временной сетке (дискретна во времени).
    Известно, что диф. уравнение 2-го порядка имеет решение в виде комплексной экспоненты, если корни характеристического уравнения комплексные, аналогично для некоторых значений коэффициентов , процесс авторегрессии будет иметь вид стохастической синусоиды.

Генератор двухсвязного марковского процесса

Изменение по синусоиде называется синусоидальный тренд.

Марковский процесс 2-го порядка более богатый, чем 1-го, с помощью него можно моделировать более сложные процессы.

             Авторегрессия m-го порядка

                  - возбуждающий белый шум.
Процесс (2) получен из диф. уравнения m-го порядка путем дискретизации. Это марковский процесс с дискретным временем.

Этот процесс значительно более информативен, чем ранее рассмотренные, ибо он может моделировать сложномодулированные случайные процессы. Он может модулировать АМ, ЧМ, ФМ путем подбора  , а также подбором  можно идентифицировать очень многие случайные процессы реально существующие на практике, например : хорошо модулируется движение летательнвх аппаратов при маневре (регрессия m=6?16), речь, полет космического корабля, посадка на планету.Стохастическая модель удобна потому, что она адекватна реальным ситуациям.

       Генератор m-связного марковского процесса               

Разностные модели на примере модели 2-го порядка

        - приращение, характеризует скорость изменения
             процесса

            Разностные модели 3-го порядка

1-я разность характеризует скорость изменения случайного процесса.
2-я разность характеризует ускорение.

Модель (3) и (4) очень широко иcпользуется на практике, т.к. здесь почти нет коэффициентов, которые нужно  идентифицировать ( а и  ), они легко подбираются на ЭВМ по методу наименьших квадратов. Для этого надо иметь реальный процесс отсчетов , модель (4) и нужно воспользоваться следующей формулой МНК/метод наименьших квадратов

Суть МНК состоит в следующем :
Есть  m-отсчетов реального процесса, есть m-отсчетов модели, составляется сумма квадратов и подбираются параметры (а,) так, чтобы минимизировать эту сумму (делается это на ЭВМ)(метод перебора) но в авторегрессии m-го порядка. Сделать это очень сложно.

Модели скользящего среднего

Пусть  - независимая случайная величина, с произвольным распределением  (очень часто гауссовское распределение)

   М=0 ; М= ;   (процесс не коррелирован)
Тогда процесс

называется процессом скользящего среднего. Этот процесс сформирован полностью из шума  (из белого шума) путем сдвига и весового суммирования.
( - весовые коэффициенты). Сумма (1) генерирует  процесс .  Процесс  - коррелированный марковский процесс.

    Генератор скользящего среднего для формулы (1)

 Модель авторегрессии и скользящего среднего

 Многомерная марковская модель

В модели (1) шумы характеризуются матрицей ковариации в отличие от авторегрессии, под которой понимается следующее:

Элементы матрицы  состоят из корреляции внутри столбика шума. Столбики между собой коррелированы.

             Модель нелинейной регрессии

В формулах (3)(матричная форма записи),и (4)(скалярная форма записи) индексы при ‘Х’ это не степени, а номера в формуле столбика.
 (3) и (4) - самая информативная модель , все предыдущие модели получаются как частный случай из этой модели. Например модель речи линейная и нелинейная, но нелинейная более точная.