2 Математическое описание систем

(детерминированная терия) (идеальный случай)

Линейные системы, которые описываются дифференциальными  уравнениями называются динамическими системами.

Если система описывается алгебраическими уравнениями - - это описание состояния равновесия (статические системы)

(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
     Правая часть - это дифференциальное уравнение воздействия. Если Ly=0 (2) ,то  Ly=Px.

(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает  линейные динамические системы без воздействия на  них. Например колебательный контур.

Правая часть уравнения (1) описывает  воздействие на линейную систему или называется управлением.

     Ly=x - управление.
Если есть часть Px - то это сложное управление, учитывающее скорость, ускорение.

Передаточная функция линейной системы

От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линейной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или смоделировать на ЭВМ.

От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти  двумя путями - используя символический метод и 2-е преобразование Лапласа.

Применив символический метод к (1) получим :

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов - описание передаточной функции.

        Использование преобразования Лапласа

Если правая часть передаточной функции простейшая - , то воздействие обычное. Передаточная функция будет иметь вид :

где знаменатель дроби есть характеристическое уравнение.

Пример :  Дифференциальное уравнение 2-го порядка описывается передаточной функцией :

Для нахождения решения дифференциального уравнения сначала необходимо решить следующее уравнение :
          
Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка  имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий над ней. (Это зависит от корней характеристического уравнения). Если корни комплексные, тогда решение будет :

Если корни ±a + jw решение будет  (7)?

(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если a=0.

Устойчивость линейных систем    

Линейная система полностью описывается передаточной функцией, которая представляет собой :
   в комплескной плоскости  p=s+jw . Эти полиномы получены из дифференциальных уравнений путем преобразования Лапласа.
Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p) Оказывается, что это проще сделать чем исследовать дифференциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.

Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором Q(p)=0.

Количество корней определяется степенью полинома. Если  корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q()=0, W(p)=? - полюс.

Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,  где полином P(p)=0.

Количество нулей определяется порядком полинома.

       - полюсы (корни характеристического уравнения). Если корни комплексные, то они сопряженные.

Выводы :  
1. Если корни характеристического уравнения Q(p)
находятся в левой полуплоскости , то система устойчива. (wt+j) - решение для комплексных  корней.
2. Если s >0 , то решение будет (wt+j).

Система неустойчива.

    Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.
Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая система.

Если полюсы на мнимой оси, т.е. s=0, то система находится в колебательном режиме (Система без потерь).     

Передаточная функция линейной системы на мнимой оси

В этом случае после преобразований получим: W(jw)=A(w)+jB(w) -
Передаточная функция есть комплексное число.
Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.

Оказывается очень удобно исследовать W(jw)на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплексной передаточной функции.

Комплексная функция :

АЧХ показывает селективность системы по амплитудному спектру.
ФЧХ показывает -  какой сдвиг фаз получает на выходе фильтра каждая гармоника.

Замечание: Известно, что спектр сигнала (по  Фурье) удобно представлять в комплексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (распределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (распределение фаз).

Выводы: Комплексное представление спектра или передаточной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.

Передаточная функция систем радиоавтоматики

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев :  

Типовые звенья радиоавтоматики    

1) Инерционное звено
Передаточная функция :

2) Интегрирующее звено

         
3) Дифференцирующее звено

4) Форсирующее звено

5) Запаздывающее звено

 Запаздывающее звено называется линией задержки, где
 t=T - время запаздывания ЛЗ. j(w)=wT;

5) Колебательное звено

6) Неминимально фазовое звено

  Цифровые системы автоматического управления

Существуют два типа процесса с дискретным временем :

1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством    состояний. Это означает, что функция  является непрерывной ( если это случайный процесс, то  непрерывна в среднем квадратическом).

              ПЗС
ПЗС - прибор с зарядовой связью
 - интервал дискретизации во времени (квантование по       времени)

 Для таких процессов составляются разностные уравнения :

2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством состояний.

   Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что  записы-
   вается в цифровом виде - дискретная  функция, вся база
   исследований другая. Квантование идет и во времени и
   по уровню.
   Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом
   случае аппаратура сильно упрощается. 

Замечание :
1) В первом случае (ПЗС) если y(t)~, то выходной процесс  , т.е. такой же, но дискретный.
2)  - биномиальное  распределение.
Оказывается, если число уровней квантования ? 8,то   их можно отождествить с непрерывными системами.

Представление дифференциальных уравнений, описывающих системы автоматического управления конечных разностей

               Z -преобразования

 (4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа, но имеет те же свойства и для разных дискретных функций имеются специальные таблицы.

Устойчивость систем с дискретным временем

Системы с непрерывным временем характеризуются передаточной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре образовании, только переменная не p = s ± jw, a , либо  (на линейной оси)

 - окружность, следовательно левая комплексная полу плоскость легче преобразуется во внутренность круга

Если полюсы передаточной функции находятся во внутренности круга, то система устойчива, если полюсы находятся на самом круге, то будет колебательный процесс, если вне  круга - система неустойчивая.