Формула интегрирования по частям
|
|
Часть 2
(1)
- ограничена,
.
(2)
В уравнении (2) перейдем к пределу при
, получаем уравнение (1).
Пространство
Определение.
Назовём пространством
замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в
.
- замыкание
в
.
Если есть
, то :
.
Если
, то
. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
.
- ограничена,
.
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).
Скалярное произведение
. , .
называется эквивалентным ( . , . ) , если :
.
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.
Теорема 2.
В пространстве
можно ввести скалярное произведение по формуле :
(3)
Доказательство.
Надо доказать :
(4)
Доказательство от противного.
Будем считать, что
, а это значит :
(по теореме Реллиха-Гординга)
Имеем противоречие.Теорема доказана.
Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Пусть
- решение задачи (1)-(2). Возьмем
и умножим (1) на
, проинтегрируем и получим :
. Если
- гладкая, то :
(3)
Определение.
Функция
называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции
выполняется тождество (3).
При исследовании обобщенных решений
.
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор
, такой, что
.
При этом
-компактный самосопряжённый положительный оператор.
По определению :
.
- антилинейный по
.
.
f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
F - линейно зависит от u.
.
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
Самосопряженность доказана.
Теорема.
Для любой функции
существует единственный
краевой задачи (1) (2). При этом
(4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
Определение.
Функция
называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
(3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :
2.Существует ортонормированный базис в
состоящий из собственных функций задачи (1) (2)
.
3.
составляет ортонормированный базис в
с эквивалентным скалярным произведением :
(4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
,
,
.
Эквивалентная задача :
Теорема 1.
Если
- линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр
- вещественный, и :
Теорема 2.
Пусть
- компактный, самосопряженный оператор, тогда
состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть
- копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве
, состоящий из собственных функций этого оператора :
.
Для удобства
,
.
Значит :
- ортонормированная система в
.
Так как
всюду плотно в
, то
образует ортонормированный базис в
.
Значит :
образует ортонормированный базис в
.
Рассмотрим задачу :
(1)
где
Краевые условия :
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для
.
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда
для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
(10)
(11)
(12)
где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для
существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда
.
3.
Оценим член :
- компактно.
(13)
(14)
Изучим член :
Значит :
(15)
(1) (2)
(16)
(3) (4)
(17)
(5) (6)
(18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда
Т.е.
Теорема доказана.
Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
- ограничено (1)
(2)
(3)
в
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
Пусть
- финитная в Q :
(1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
Обозначим :
.
Теорема.
Пусть
, тогда :
1) если
, где
, то :
(3)
и при этом :
(4)
2) Если для
, то :
Доказательство.(1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
(3)
(4)
- доказано (3)
(применив неравенство Коши-Буняковского)
По теореме Фубини имеем неравенство :
Доказательство. (2-ая часть. )
Значит :
Доказательство теоремы 2.
Пусть
- ограниченная, односвязная область.
.
Q - симметрично относительно
, т.е. если
, то
.
Обозначим :
Теорема 2.
Пусть
, тогда :
1) если
, где
, то :
2) если
, то :
Указание. Для доказательства рассмотреть :
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
, тогда :
Локальная гладкость обобщённых решений.
ограниченная.
Обобщённое решение :
,
(3)
Теорема 1.
Для любого
обобщённое решение u задачи (1) (2)
независимо от гладкости границы, если правая часть из
, то обобщённое решение тоже гладко.
Доказательство.
Достаточно доказать, что
в каждом из шаров :
.
Обозначим
.
В качестве v для (3) возьмём :
- финитная, бесконечно дифференцируемая.
, v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
(4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть
.
.
(5)
Представим (5) в виде :
.
Оценим :
По неравенству Коши-Буняковского :
,
где
.
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
Результат :
(6)
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) :
.
u имеет обощённые производные
.
Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть
- ограничена,
- обобщённое решение задачи (1) (2), тогда :
.
Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
(1)
(2)
(3)
Теорема 1.
Пусть
- ограниченная область :
- обобщённое решение (1) (2), тогда
.
Доказательство.
Доказать, что
.
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
Подставим v в (3), получим :
(4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть
.
.
При этом :
.
(5)
Представим (5) в виде :
.
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
,
где
.
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) :
.
u имеет обощённые производные
.
Лемма.
Пусть
- обобщённое решение (1) (2), тогда :
- ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.
Будем считать :
.
Значит :
.
Теорема 2.
Пусть
- ограниченная область,
- обобщённое решение задачи (1) (2), тогда :
.
Теорема "вложения" Соболева.
- ограниченная область,
, следовательно
-непрерывно вложено.
Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
почти всюду в Q .
(1)
Доказательство (теоремы).
, где
,
если
, и :
(2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
(3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой
, то в этом случае теорема справедлива для
.
;
; следует фундаментальность :
(4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду :
п.в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.
Преобразование Фурье :
,
где
.
умножим и разделим на
и применим неравенство Коши-Буняковского.
Докажем, что интеграл конечен :
Где
.
Теорема полностью доказана.
