Календарь
Октябрь
Пн   2 9 16 23 30
Вт   3 10 17 24 31
Ср   4 11 18 25  
Чт   5 12 19 26  
Пт   6 13 20 27  
Сб   7 14 21 28  
Вс 1 8 15 22 29  

Фурье



Скачать: Фурье

План курсовой работы

Введение

1. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

2. Представление функции интегралом Фурье

3. Представление Функции полиномом Лежандра

4. Дискретные преобразования Фурье

Введение

Этап I

Постановка задачи

Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа  повышение надежности основной схемы до уровня 0.95
 
а)                                                                            б)
Рис. 1.1

Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.

Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.

№ элемента

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Надежность

0.6

0.6

0.6

0.3

0.7

0.4

0.3

0.5

0.1

Надеж.(резер.) 

0.3

0.3

0.3

0.15

0.35

 

 

 

 

Теоретическая часть

Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением  двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Произведением  нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

Аксиомы теории вероятностей :

1. Вероятность любого события находится в пределах:

.

2. Если А и В несовместные события , то


3. Если имеется счетное множество несовместных событий А1, А2, ... Аn, ... при , то

Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если

;   при
то
.

Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:


Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
.

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

, или

Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.

Рис. 2.1

Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А1, А2, ... Аn, где Ai={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
.

Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.

Рис. 2.2
От события В={система будет работать} перейдем к противоположному:={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие  есть произведение двух событий:
={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.
По правилу умножения для независимых событий:

Практическая часть

Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :


, а также резервной схемы (рис. 1б) :

Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока


Рис. 3.1

Тогда формула вероятности  для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :

, где
,
,
,
,
.
Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения  :
Шаг первый, при N=1
 < 0.95
Шаг второй, при N=2
 < 0.95
Шаг третий, при N=3
 < 0.95
Шаг четвертый, при N=4
 < 0.95
Шаг пятый, при N=5
 > 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность .

Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :


, где

, а - смотри выше.

Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения  :

При N=1 :
 < 0.95
При N=2 :
 < 0.95
При N=3 :
 < 0.95
При N=4 :
 < 0.95
При N=5 :
 < 0.95
При N=6 :
 > 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.

Этап II

1 Постановка задачи

- найти неизвестную константу функции f(x);
- выписать функцию распределения, построить их графики;
- найти математическое ожидание и дисперсию;
- найти вероятность попадания в интервал (1;4).

2 Теоретическая часть

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.
Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:
.
Основные свойства функции распределения:
1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при   .
2) .
3) .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :

Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):

Основные свойства плотности распределения f(x):
1. Плотность распределения - неотрицательная функция .
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:
.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма  произведений  всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).

Дисперсия случайной величины  есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:

3 Практическая часть

Для нахождения неизвестной константы  c  применим выше описанное свойство:

 , откуда
, или  

Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:
- на интервале

- на интервале 

- на интервале

Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание  и дисперсию  для случайной величины X :


Производя еще одну замену  приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно :

Также находим дисперсию :

И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :

 

Этап III

1 Постановка задачи

Дана случайная выборка объема n=100 :


104.6

95.2

82.0

107.7

116.8

80.0

100.8

124.6

99.4

101.4

100.6

86.3

88.2

103.8

98.5

111.8

83.4

94.7

113.6

74.7

114.3

86.9

106.6

94.9

105.9

88.6

96.6

93.7

90.8

96.5

110.2

100.0

95.6

102.9

91.1

103.6

94.8

112.8

100.1

95.3

113.9

113.9

86.1

110.3

88.4

97.7

70.1

100.5

90.9

94.5

109.1

82.2

101.9

86.7

97.4

102.1

87.2

94.71

112.4

94.9

111.8

99.0

101.6

97.2

96.5

102.7

98.6

100.0

86.2

89.4

85.0

86.6

122.7

101.8

118.3

106.1

91.3

98.4

90.4

95.1

93.1

110.4

100.4

86.5

105.4

96.9

101.9

83.8

107.3

107.5

113.7

102.8

88.7

112.5

79.4

79.1

98.1

103.8

107.2

102.3

2 Теоретическая часть

Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин  , не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.
Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания  .
Размах выборки есть величина r=Xn-X1, где Xn - max , X1 - min элементы выборки.
Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :

тогда частота попадания в отрезок находим по формуле :

, где Vi - число величин попавших в отрезок , причем . Поделив каждую частоту на  получим высоту для построения гистограммы.
Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее mx*  и статистическую дисперсию Dx* .
Которые находим как

Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :

.

Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :

,

то есть оценка  для m является несмещенной.
Найдем дисперсию этой оценки :

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка  для мат. ожидания m является и эффективной.
Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений Xi от среднего :

.

Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее  арифметическое квадратов наблюдений:

.

, где правая часть есть среднее арифметическое  значений случайной величины X2 сходится по вероятности к ее мат. ожиданию: . Вторая часть сходится по вероятности к ; вся величина сходится по вероятности к . Значит, оценка состоятельна.
Проверим ее на несмещенность, подставив в  вместо  его выражение и произведем действия:

.

Так как D* не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины  . Тогда

.

Найдем мат. ожидание величины D*:

 

.

Но ,, и получаем:

.

Отсюда видно, что величина D* не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее мат. ожидание не равно D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой D* вместо D, будет проходить систематическая ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку  тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:

 

При больших n поправочный коэффициент  становится близким к единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени (оценок) этих характеристик нужно взять:

,

.

3 Практическая часть

Упорядоченная выборка  где n=100 количество замеров :

70.1

74.7

79.1

79.4

80.0

82.0

82.2

83.4

83.8

85.0

86.1

86.2

86.3

86.5

86.6

86.7

86.9

87.2

88.2

88.4

88.6

88.7

89.4

90.4

90.8

90.9

91.1

91.3

93.1

93.7

94.5

94.7

94.7

94.8

94.9

94.9

95.1

95.2

95.3

95.6

96.5

96.5

96.6

96.9

97.2

97.4

97.7

98.1

98.4

98.8

98.6

99.0

99.4

100.0

100.0

100.1

100.4

100.5

100.6

100.8

101.4

101.6

101.8

101.9

101.9

102.1

102.3

102.7

102.8

102.9

103.6

103.8

103.8

104.6

105.4

105.9

106.1

106.6

107.2

107.3

107.5

107.7

109.1

110.2

110.3

110.4

111.8

111.8

112.4

112.5

112.8

113.0

113.6

113.9

113.9

114.3

116.8

118.3

122.7

124.6

Размах выборки r=Xn-X1=124.6-70.1= 54.5

На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.

Табл. 3.1


Интервалы

Число попаданий в интервал

Частота попаданий в интервал

Высоты интервалов для гистограммы

  1.   70.10  -  75.55
  2.   75.55  -  81.00
  3.   81.00  -  86.45
  4.   86.45  -  91.90
  5.   91.90  -  97.35
  6.   97.35 - 102.80
  7. 102.80 - 108.25
  8. 108.25 - 113.70
  9. 113.70 - 119.15
  10. 119.15 - 124.60

2
3
8
15
17
23.5
13.5
11
5
2

0.020
0.030
0.080
0.150
0.170
0.235
0.135
0.110
0.050
0.020

0.0036697
0.0055045
0.0146788
0.0275229
0.0311926
0.0431192
0.0247706
0.0201834
0.0091743
0.0036697

 

 

Сумма  1.000

 

По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределение  подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания

  ,  
для оценки дисперсии 
.

Полагая в выражении нормальной плотности

, где  

и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случае  воспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :

Табл. 3.2


x

f(x)

  1.   70.10
  2.   75.55
  3.   81.00
  4.   86.45
  5.   91.90
  6.   97.35
  7. 102.80
  8. 108.25
  9. 113.70
  10. 119.15
  11. 124.60

0.0010445
0.0036354
0.0097032
0.0198601
0.0311717
0.0375190
0.0346300
0.0245113
0.0133043
0.0055377
0.0017676

и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1
Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х в k-й интервал по формуле

Табл. 3.3


  1.   70.10  -  75.55
  2.   75.55  -  81.00
  3.   81.00  -  86.45
  4.   86.45  -  91.90
  5.   91.90  -  97.35
  6.   97.35 - 102.80
  7. 102.80 - 108.25
  8. 108.25 - 113.70
  9. 113.70 - 119.15
  10. 119.15 - 124.60

0.0115694
0.0344280
0.0790016
0.1398089
0.1908301
0.2009057
0.1631453
0.1021833
0.0493603
0.0183874

Для проверки правдоподобия гипотезы воспользуемся критерием согласия  для этого возьмем  данные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в формулу :

 


Рис. 3.1

Определяем число степеней свободы (10-1-l)=7, где l - число независимых условий  (количество параметров подлежащих оценки в нашем случаи  их l=2, это mx, Dx - для нормального распределения). По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей и ее инженерные приложения.” - М.: Наука, 1988 находим  при r=7, p=0.95 =2.17  для уровня значимости  и видим, что  , но даже меньше.
Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.



  © Реферат плюс


Поиск

  © REFERATPLUS.RU  

Яндекс.Метрика