Календарь
Сентябрь
Пн   3 10 17 24  
Вт   4 11 18 25  
Ср   5 12 19 26  
Чт   6 13 20 27  
Пт   7 14 21 28  
Сб 1 8 15 22 29  
Вс 2 9 16 23 30  

Сложение колебаний



Скачать: Сложение колебаний

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину  x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно,  проекция  конца  вектора на ось будет совершать гармонические  колебания  с  амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний х1 и x2, которые определяются функциями

,  (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω0, как и векторы А1 и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с частотой (ω0, амплитудой A и начальной фазой α. Используя теорему косинусов получаем, что

 (2)

Также, из рисунка видно, что

   (3)

Представление гармонических колебаний с помощью  векторов  позволяет  заменить сложение функций сложением  векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону, то

   (1)

Где ex и eу — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

,  (2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравнения следует, что

 (3) Соответственно   (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:

Подставим вместо cos ωt и sinωt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение

 (5)

Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз α равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда получается уравнение прямой:

 

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной  (рис. 1 а).

2. Разность фаз α равна ±π. Из уравнение  (5)  имеет вид

Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

  (рис. 1 б)

Рис.1

3. При  уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Случаи и  отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.

Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

 

Фигура Лиссажу для

отношения  частот 1:2 и

разности фаз π/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2



  © Реферат плюс


Поиск

  © REFERATPLUS.RU  

Яндекс.Метрика